Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.
Пусть дано уравнение f(x)=0, корень отделен на отрезке [a, b].
Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0 (рис. 2.13)
Рис. 2.13
В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b).
Тогда вычисления следует проводить по формулам:
; 
.
Теперь корень ξ заключен в интервале [a1, b1].
Применяя к этому отрезку комбинированный метод, получим:
; 
и т.д.
; 
(2.6)
Если же f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.14), то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:
Рис. 2.14
; 
.
Вычислительный процесс прекращается, как только 
.
Задания. Найти наименьший положительный корень уравнения одним из методов, указанных преподавателем.
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
|
3. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Будем считать, что некоторый процесс характеризуется двумя изменяющимися величинами x и y, из которых x выбирается как независимая, а y – как зависимая переменная величина. Предположим, сто каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y, т.е. y является функцией x.
На практике часто известна аналитическая зависимость между x и y, т.е. функцию нельзя записать в виде y=f(x). В некоторых случаях эта зависимость известна, но вычисления значений функций громоздко. В этих случаях прибегают к табличному способу задания функций. Таблица представляет собой набор значений функций для последующих значений аргументов:
| x
| x0 x1 …. xn
|
| y
| y0 y1 …. yn
|
Эти значения либо вычислены, либо получены экспериментально.
Преимуществом табличного способа задания функций является то, что для каждого значения аргумента, содержащегося в таблице, без вычислений можно найти значение функции.
Недостаток этого способа в том, что нельзя составить таблицу для всех значений аргумента, всегда найдутся такие значения аргумента, которых нет в таблице.
Таким образом, возникает задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию y=f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией y(x) так, чтобы отклонения (в некотором смысле) Y(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция Y(x) называется аппроксимирующей.
2015-02-04
1312
