Отклонение снарядов (битва у Фолклендских островов)

В декабре 1914 г. произошло сражение между английской и немецкой эскадрами у Фолклендских островов () южной широты).

По свидетельству английского морского офицера немецкие корабли обстреливались с максимальной дистанции (порядка 15 км), причем снаряды ложились левее цели примерно на сотню ярдов (примерно 90 м), хотя были пристреляны еще в Англии (примерно на северной широты).

Рассмотрим полет снаряда на широте (рис. 5.3). Уравнение динамики относительного движения:

,

где – скорость снаряда относительно Земли, – сила тяжести, считаемая постоянной в рассматриваемой области, – аэродинамическая сила. Для простоты примем тогда уравнение примет вид:

. (1)

Линейное дифференциальное уравнение может быть решено точно; мы построим здесь приближенное методом последовательных приближений.

Нулевое приближение получим, приняв , откуда

. (2)

Первое приближение получим, подставив (2) в правую часть (1):

откуда

. (3)

Если ограничиться линейными членами относительно малой величины (, то этого приближения достаточно.

Сумма это движение тела без учета вращения Земли; слагаемое объясняет отклонение падающих тел к востоку (в северном и южном полушариях). Слагаемое описывает отклонение снаряда вправо от направления стрельбы в северном полушарии и влево – в южном. Чтобы оценить это отклонение, будем считать для простоты траекторию настильной, т.е. . Проинтегрируем это слагаемое и найдем проекцию вектора положения на направление оси (вправо от направления стрельбы):

.

В южном полушарии знак отрицательный, так как , и снаряд отклоняется влево, поэтому при стрельбе в южном полушарии из орудия, пристрелянного в северном, отклонение удваивается.

Точное решение уравнения (1) в учебниках отсутствует; возможно, причина в громоздкости, если решать его в координатном виде. В векторном виде решение проще.

Решение неоднородного уравнения (1) равно сумме решений однородного уравнения и частного решения. Вспомнив формулу Пуассона (4.15) , решение однородного уравнения запишем в виде , где – произвольный постоянный вектор. Частное решение найдем методом вариации произвольных постоянных:

Подставим это выражение в уравнение:

,

откуда (примем и, следовательно, .

Записывая и вспоминая представление Эйлера для тензора поворота , получим точное решение:

.

Разлагая тригонометрические функции в ряды и, удерживая члены с первой степенью , получим приближенное решение (3).