Центр масс. Теорема о движении центра масс

Центром масс (центром инерции) тела называется точка С, вектор положения которой задается формулой

, (5.7)

где – масса всего тела, – вектор положения элемента .

Далее будем рассматривать закрытое тело.

Перепишем определение (5.7) в виде и продифференцируем по времени:

.

Получили, что количество движения (импульс) тела равен произведению массы тела и скорости центра масс:

. (5.8)

Подставляя это выражение в закон (5.1), получим:

,(5.9)

и, сравнивая с уравнением второго закона Ньютона, приходим к теореме о движении центра масс: центр масс тела движется как материальная точка с массой всего тела под действием силы, равной главному вектору внешних сил.

Если ,то скорость центра масс постоянна

Из школьной физики известно, что при пренебрежении сопротивлением воздуха траектория снаряда, на которого действует сила тяжести – парабола. Из (5.9) следует, что при его взрыве в полете центр масс разлетевшихся осколков будет двигаться по той же траектории.

Центр масс обладает любопытным свойством: величина

(или ) – сумма произведений масс точек тела и квадратов расстояний до точки А, называемая полярным моментом инерции тела в точке A, минимальна, если в качестве точки А взять центр масс; иными словами, если в качестве меры «расстояния» принять произведение массы и квадрата расстояния до точки, то центр масс – точка, «ближайшая» ко всем точкам тела.

Заменим квадрат модуля скалярным произведением

.

Рассматривая как функцию , найдем дифференциал:

.

Необходимое условие экстремума (в данном случае минимума) – равенство , откуда вследствие произвольности получим:

.