Тема: Алгоритм Прима

Алгоритм Прима — алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Алгоритм впервые был открыт в 1930 году чешским математиком Войцехом Ярником, позже переоткрыт Робертом Примом в 1957 году, и, независимо от них, Э. Дейкстрой в 1959 году.

Алгоритм:

На вход алгоритма подаётся связный неориентированный граф. Для каждого ребра задаётся его стоимость.

1) Сначала берётся произвольная вершина и находится ребро, инцидентное данной вершине и обладающее наименьшей стоимостью. Найденное ребро и соединяемые им две вершины образуют дерево.

2) Затем, рассматриваются рёбра графа, ещё не принадлежащие дереву и смежные с последним добавленным в дерево ребром; из этих рёбер выбирается ребро наименьшей стоимости. Выбираемое на каждом шаге ребро присоединяется к дереву.

3) Таким образом, при выполнении каждого шага алгоритма, высота формируемого дерева увеличивается на 1. Рост дерева происходит до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины и рёбра исходного графа.

Результатом работы алгоритма является остовное дерево минимальной стоимости.

Пример

Изображение	Множество выбранных вершин U	Ребро (u, v)	Множество невыбранных вершин V \ U	Описание
	{}		{A,B,C,D,E,F,G}	Исходный взвешенный граф. Числа возле ребер показывают их веса, которые можно рассматривать как расстояния между вершинами.
	{D}	(D,A) = 5 V (D,B) = 9 (D,E) = 15 (D,F) = 6	{A,B,C,E,F,G}	В качестве начальной произвольно выбирается вершина D. Каждая из вершин A, B, E и F соединена с D единственным ребром. Вершина A — ближайшая к D, и выбирается как вторая вершина вместе с ребром AD.
	{A,D}	(D,B) = 9 (D,E) = 15 (D,F) = 6 V (A,B) = 7	{B,C,E,F,G}	Следующая вершина — ближайшая к любой из выбранных вершин D или A. B удалена от D на 9 и от A — на 7. Расстояние до E равно 15, а до F — 6. F является ближайшей вершиной, поэтому она включается в дерево F вместе с ребром DF.
	{A,D,F}	(D,B) = 9 (D,E) = 15 (A,B) = 7 V (F,E) = 8 (F,G) = 11	{B,C,E,G}	Аналогичным образом выбирается вершина B, удаленная от A на 7.
	{A,B,D,F}	(B,C) = 8 (B,E) = 7 V (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 (F,E) = 8 (F,G) = 11	{C,E,G}	В этом случае есть возможность выбрать либо C, либо E, либо G. C удалена от B на 8, E удалена от B на 7, а G удалена от F на 11. E — ближайшая вершина, поэтому выбирается E и ребро BE.
	{A,B,D,E,F}	(B,C) = 8 (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (E,C) = 5 V (E,G) = 9 (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11	{C,G}	Здесь доступны только вершины C и G. Расстояние от E до C равно 5, а до G — 9. Выбирается вершина C и ребро EC.
	{A,B,C,D,E,F}	(B,C) = 8 цикл (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (E,G) = 9 V (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11	{G}	Единственная оставшаяся вершина — G. Расстояние от F до нее равно 11, от E — 9. E ближе, поэтому выбирается вершина G и ребро EG.
	{A,B,C,D,E,F,G}	(B,C) = 8 цикл (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11 цикл	{}	Выбраны все вершины, минимальное остовное дерево построено (выделено зеленым). В этом случае его вес равен 39.