Операции над матрицами

1 2 3 4 5 6 7

Лекция 2: Матрицы и определители

1. Операции над матрицами

2. Определители и их свойства

3. Ранг матрицы

4. Обратная матрица. Матричные уравнения

Операции над матрицами

ОПР. Матрицей, размерности называется прямоугольная таблица чисел

- элемент матрицы, - номер строки, - номер столбца, - размерность матрицы.

ОПР. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, например: .

ОПР. Матрица размерности называется матрицей-строкой или просто строкой, например: .

ОПР. Матрица размерности называется матрицей-столбцом или просто столбцом, например: .

ОПР. Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов . Число называется порядком матрицы, например при :

ОПР. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из чисел , идущая из левого верхнего угла в правый нижний; побочной называется диагональ, идущая из правого верхнего угла в левый нижний:

ОПР. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали равны нулю, например:

ОПР. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например:

- верхняя треугольная матрица,

- нижняя треугольная матрица.

ОПР. Матрица называется ступенчатой, если все элементы, расположенные ниже главной диагонали равны нулю, например:

ОПР. Квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями выше и ниже ее, называется единичной и обозначается буквой Е, например единичная матрица третьего порядка имеет вид:

ОПР. Транспонированием матрицы называется преобразование состоящее в замене строк столбцами с сохранением их номеров, например:

, .

ОПР. Две матрицы равны , если равны их размерности и все соответствующие элементы совпадают, , ; .

ОПР. Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица .

ПР. Найти сумму матриц и .

Свойства операции сложения:

· ,

· .

ОПР. Произведениемматрицы на число называется матрица , , где ; .

ПР. Умножить матрицу на 3.

Свойства операции умножения матрицы на число:

· ,

ОПР. Произведениемматриц размерности на матрицу размерности называется матрица размерности ,элементы которой вычисляются по формуле: , где ; .