Отделение корней

Пусть дано уравнение

f(x)=0 (1.1)

где функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале a<x<b.

Всякое значение ξ [a,b], обращающее функцию f(x) в нуль, т. е. f(ξ)=0, называется корнем уравнения (1.1) или нулем функции f(x).

Если на отрезке [α, β] имеется только один корень, то он называется изолированным корнем.

Теорема о существовании изолированного корня: если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], т. е. f(α)*f(β)<0, то внутри этого отрезка содержится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, т. е. найдется хотя бы одно число ξ [α, β], такое, что f(ξ)=0.

Корень заведомо будет единственным, если производная f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α, β), т. е. если f'(x)>0 (если f'(x)<0) при α<x<β.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функций f(x) в граничных точках x= a и x= b интервала a<x<b области существования функции. Затем определяют знаки функции f(x) в ряде промежуточных точек x=x1, x2,.., выбор которых учитывает особенности функции f(x), либо интервал [a, b] делится на равные отрезки [α_k<α_k+1]. Если окажется, что f(α_k)*f(α_k+1)<0, то, согласно теоремы, в интервале [α_k, α_k+1] имеется корень уравнения f(x).

Убедимся, что на отрезке [α_k, α_k+1] изолированный корень. Рассмотрим несколько способов выявления изолированных корней.

Первый способ. Отрезок [α_k, α_k+1] делится на две, четыре, восемь и т. д. равных частей, и определяются знаки функции f(x) в точках деления. При этом:

а) если алгебраическое уравнение (1.1) представляет многочлен n-ой степени

a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n=0 (a₀ 0) (1.2)

и произошло n+1 перемен знаков функции на интервале a<x<b, то все корни отделены, т. к. многочлен n-ой степени имеет не более n действительных корней.

Пример. a₀x²+a₁x+a₂=0 – многочлен второй степени.

Выбрав интервал [a, b] рис.1, зададим шаг разбиения h= , где n- число отрезков [α_k, α_k+1], где k=0,…,n-1.

f(a) f(b)

a α₀ b х

f(α₀)

Рис. 1.1

f(a)>0, f(α0)<0, f(b)>0 – получили три перемены знаков для многочлена второй степени, следовательно на отрезках [a, α₀], [α₀, b] находятся изолированные корни.

б) Если существует непрерывная производная f (x), и корни уравнения f (x)=0 определены, то процесс отделения корней уравнения f(x)=0 можно упорядочить. Для этого достаточно подсчитать лишь знаки функции f(x) в точках нулей ее производной и в граничных точках x= a, и x= b (Рисунок 1.2).

f(x) f'(x₃)=0

x0 x1 x2 x3 х

Рис. 1.2

Второй способ – графическое отделение корней:

действительные корни уравнения f(x)=0 приближенно определяются как абсциссы точек пересечения графика функции y= f(x) с осью x. Если f(x) состоит из простых функций, то уравнение f(x)=0 заменяют равносильным уравнением φ(x)= ψ(x). Тогда, построив графики функций y=φ(x) и y=ψ(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример.

Дано уравнение x*lgx-1=0.

графическим способом отделить корни данного уравнения.

1 способ. Строим график функции y=x*lgx-1;

y -f(x)