2015-02-27
461
Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.
Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.
Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале 
. Выберем произвольное 
. Тогда 
. Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: 
, где 
. Отсюда следует, что 
. Теперь 
. Положив 
. Получим
. (6)
Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим 
. Спектр сигнала сосредоточен на интервале 
. Положим 
, тогда 
, но последовательность 
оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же 
, то можно воспользоваться формулой (6).
Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.
|
|
|
Основное определение: 
