2015-02-04
1865
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f (x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
С л е д с т в и е. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.
| П р и м е р. | Функция y = | x | (рис.3) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0, так как в этой точке не существуеткасательной к графику этой функции. (Подумайте, почему?) |
Достаточные признаки монотонности функции.
Если f ’(x) > 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.
Если f ’(x) < 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) убывает на этом интервале.
Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.
Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.
|
|
|
Следовательно, функция возрастает на интервалах (- 
, 0) и (1, + ) и убывает на интервале (0, 1). Точка x = 0 не входит в область определенияфункции, но по мере приближения x к 0 слагаемое x - 2 неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции (рис.4 б).
Примеры: 1. Найти производные следующих функций:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
2. Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 2.
Решение: общий вид уравнения: 
;
Тогда уравнение касательной примет вид: 
.
3. Найти промежутки возрастания и убывания функции 
.
убывает, если 
; 
возрастает, если 
.
Для заданной функции 
.
Найдем экстремумы заданной функции из уравнения 
:
Итак, заданная функция возрастает на промежутках 
и убывает на отрезке 
.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
;
Наибольшее значение 
достигается при 
.
Наименьшее значение 
достигается при 
и 
.
5. Точка движется по прямой, причем пройденный путь определяется формулой 
. Найти ее скорость в момент времени 
.
Решение: Воспользуемся определением мгновенной скорости 
.
В нашем случае 
.
Ответ: 106.
6. Из квадратного листа жести со стороной 
см изготавливают коробку. Для этого от его углов отрезают одинаковые квадраты и загибают края по пунктирным линиям. При каких размерах отрезаемых квадратов объем коробки будет наибольшим? Найти этот объем.
Решение: Обозначим сторону каждого из отрезаемых квадратов за 
(см). Тогда дно коробки будет квадратом со стороной 
(см). Высота коробки составит (см). Представим объем коробки формулой: 
(см 
.
|
|
|
Теперь задача заключается в нахождении наибольшего значения функции 
на интервале 
. Для нахождения точек экстремума составим уравнение 
.
Но 
не принадлежит интервалу .
Рассмотрим точку 
. При переходе через нее производная меняет свои значения с положительных на отрицательные. Следовательно, в точке 
функция 
достигает локального максимума.
Критическая точка 
на интервале единственная, следовательно, она является точкой максимума исследуемой функции на интервале . Это значит, что наибольший объем изготавливаемой коробки будет достигаться, если от углов исходного листа жести отрезать квадраты со стороной (см).
Вычислим наибольший объем коробки:
https://cito-web.yspu.org/link1/metod/met146/node15.html
| Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F (x) называется первообразной функции f (x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.
· 
· 
· 
· 
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблица интегралов
В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пример 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить  .
Решение.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пример 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить интеграл  .
Решение.
Преобразуя выражение и применяя формулу для интеграла степенной функции, получаем
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пример 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить  .
Решение.
Используем табличный интеграл  . Тогда
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пример 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить  .
Решение.
Воспользовавшись табличным интегралом  , находим
|
https://www.math24.ru/indefinite-integral.html
| Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. | ||||||
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:
где
Свойства определенного интеграла
Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [ a, b ].
1. 
2.  где k - константа;
3. 
4. 
5. Если  для всех  , то  .
6. 
7. 
8. Если  в интервале [ a, b ], то 
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[ a, b ], то
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0 x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
| ||||||
| Пример 1 | ||||||
Вычислить интеграл  .
Решение.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
| ||||||
| Пример 2 | ||||||
Вычислить интеграл  .
Решение.
|
https://www.math24.ru/definite-integral.html
