Замкнутые и полные ортонормированные системы

Определение 7. Ортонормированная система { yn } в бесконечномерном евклидовом пространстве называется замкнутой, если любой элемент этого пространства можно приблизить с произвольной точностью по норме данного пространства с помощью конечной линейной комбинации элементов yk.

Иными словами, если.

Теорема 6. Необходимое и достаточное условие замкнутости ортонормированной системы. Для того чтобы ортонормированная система { yn } была замкнута, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента

f выполнялось равенство

.

p1. Необходимость.

Воспользуемся тождеством Бесселя.

Если система { yn } − замкнутая, то " e > 0 $ N такое, что левая часть тождества будет меньше чем e при n ≥ N, поэтому

.

2. Достаточность.

Если, то " e > 0 $ n такое, что правая часть тождества будет меньше, чем e,

следовательно, и левая часть тождества будет меньше чем e. Это означает, что система yn будет замкнутой. n

ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 6