Примеры решения задач. 1.Найдите радиус сходимости и область сходимости ряда

1. Найдите радиус сходимости и область сходимости ряда

.

Решение. Воспользуемся формулой Коши-Адамара.

.

Область сходимости −.

2. Разложите в ряд Тейлора в окрестности точки x = 2 функцию.

Решение. Применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии

, где a 1− первый член прогрессии, q − знаменатель прогрессии.

Только на этот раз мы не будем считать сумму прогрессии, а наоборот, от суммы перейдем к ряду.

Действительно,.

Тогда.

3. Разложите в ряд Тейлора с центром в точке x 0= 0 функцию f (x) = arctg x в ее области сходимости.

Решение. Рассмотрим производную.

Разложим эту функцию в ряд Тейлора, используя сумму прогрессии:

.

Область сходимости этого степенного ряда | x | < 1.

Как известно, степенной ряд сходится равномерно внутри области сходимости, поэтому его можно интегрировать почленно. Проинтегрируем данный ряд и найдем таким

образом разложение для. Константа, возникающая при

интегрировании, равна нулю, так как f (0) = 0.

ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 5