Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье

Определение 2. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на сегменте [ a, b ], если она непрерывна во всех точках сегмента [ a, b ] за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода.

Определение 3. Кусочно-непрерывная на сегменте [ a, b ] функция называется кусочно-гладкой на этом сегменте, если производная этой функции f ' (x) существует и непрерывна всюду на сегменте [ a, b ], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых существует правый и левый пределы и.

Лемма 1. Об аппроксимации непрерывной на сегменте [ a,

b ] функции кусочно-гладкой функцией. Пусть функция f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ]. Тогда для любого e > 0 существует непрерывная, кусочно-гладкая функция l (x), такая, что для любого x из сегмента [ a, b ] выполняется условие | f (x) − l (x)| < e, причём l (a) = f (a), l (b) = f (b).

Лемма 2. Если функция f (x) кусочно-непрерывна на сегменте [ a, b ], то

1) при l → ∞,

2) при l → ∞.

Теорема 2. О поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Пусть f (x) – кусочно-гладкая функция на сегменте [ − p; p ]. Тогда ряд

, где,,

,

сходится в каждой точке x Î [ − p; p ], и для его суммы S (x) справедливо равенство

1),

2).

3. Комплексная форма ряда Фурье. Заметим, что

При этом

Таким образом,

, где.

Тем самым мы получили разложение функции f (x) по системе функций { einx }. Указанная система функций является ортогональной на сегменте [ − p; p ], то есть

.

4. Понятие общего ряда Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье является частичным случаем общего ряда Фурье. Рассмотрим пространство кусочно-непрерывных на сегменте [ a, b ] функций Q [ a, b ]. Будем предполагать, что в точке разрыва

.

Введём в пространстве Q [ a, b ] скалярное произведение (свёртку) двух функций,

. Имеет место неравенство Коши

(f, g)2≤ (f, f) · (g, g).

Определение 4. Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу f поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число − норма, || f ||, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. || f || > 0, если f ≠ q; || f || = 0, если f = q,

2. || l · f || = | l | · || f ||, для любого числа l,

3. " f, g Þ || f + g || ≤ || f || + || g ||.

В любом нормированном пространстве можно ввести метрику, т.е. расстояние между двумя элементами, по формуле

r (f, g) = || f − g ||.

Во всяком евклидовом пространстве можно ввести норму

.

Определение 5. Последовательность элементов евклидова пространства

{ yn } называется ортонормированной, если её элементы попарно ортогональны, а норма каждого элемента равна единице.

Определение 6. Рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе

{ yn } называется ряд, где fn = (f, yn). Величины fn называются коэффициентами Фурье элемента f.

Если евклидово пространство имеет конечную размерность N, то система { yn }, состоящая из N ортогональных элементов, норма каждого из которых равна единице, образует ортонормированный базис и любой элемент f такого пространства можно разложить по этому базису

.

В случае бесконечной размерности евклидова пространства актуален вопрос о сходимости ряда Фурье по метрике данного пространства. Назовем величину

частичной суммой ряда Фурье.

Наряду с Sn будем рассматривать линейные комбинации элементов ортонормированной системы

.

Теорема 3. При фиксированном n из всех сумм вида наименьшее

отклонение от элемента f по норме данного евклидова пространства имеет частичная сумма

.

Это свойство называют экстремальным свойством ряда Фурье.

Теорема 4. Для любого элемента f, для любой ортонормированной системы { yn } и для любого n выполняется равенство (тождество Бесселя)

Теорема 5. Для любого элемента f, для любой ортонормированной системы { yn } справедливо неравенство (неравенство Парсеваля)

.