Задание

1. Постройте уравнение регрессии в стандартизованном виде и сде­лайте выводы.

2. Определите показатель множественной корреляции (нескорректи­рованный и скорректированный).

3. Оцените целесообразность включения переменной х₁ в модель после введения в нее переменных х₂ и х₃.

Решение. Кроме линейного уравнения множественной регрессии в естественной форме у=a+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃ применяется уравнение в стандартизированной форме t_y =b₁t_x1+b₂t_x2+b₃t_x3 . Расчет b-коэффициентов осуществим из системы нормальных уравнений:

, откуда

Получим b₁=0,262, b₂=0,792, b₃= -0,273.

Значит уравнение будет t_y =0,262*t_x1+0,792*t_x2 –0,273*t_x3. Сравнивая модули b-коэффициентов можно определить силу влияния каждого фактора на результативный признак. Так как |b₂=0,792|>|b₃= -0,273|>|b₂=0,262|, то наибольшее влияние на у оказывает фактор х₂, затем идет х₃ и х₁. Причем зависимость между у и фактором х₃ имеет обратную направленность. Парный коэффициент корреляции r_ух3 неправильно характеризует направление связи из-за сильной мультиколлинеарности между факторами (например, факторы х₂ и х₃ явно коллинеарны, так как r_х2х3=0,8 > 0,7).

Показатель множественной корреляции вычисляется через b-коэффициенты и коэффициенты парной корреляции:

Линейный коэффициент множественной корреляции говорит о сильном характере связи между у и тремя факторами. Определим скорректированный коэффициент множественной корреляции как корень квадратный из скорректированного индекса детерминации

Скорректированный показатель , содержащий поправку на число степеней свободы, незначительно отличается от обычного R. Эта дает возможность при анализе ограничиться обычным показателем корреляции.

Оценим целесообразность включения переменной х₁ в модель после введения в нее переменных х₂ и х₃, использовав частный F-критерий Фишера.

где R²_yx2x3 – линейный коэффициент множественной детерминации для модели с факторами х₂ и х₃ без фактора х₁.

Для расчета критерия следует вначале найти R²_yx2x3. Для этого воспользуемся формулой:

отсюда

F _кр = (1;26;0,05)= 4,22, Так как F_{част х1} > F _кр, то включение х₁ после факторов х₂ и х₃ оказалось статистически значимым, этот фактор оказывает существенное влияние на результат.

При решении задачи №4 следует воспользоваться методом скользящей средней, который основан на укрупнении периодов, образованных последовательным исключением начального ряда и замены его очередным.

Пусть дан следующий временной ряд y₁, y₂,… y_n. Тогда, если выравнивание происходит по пяти членам временного ряда, то новый ряд будет:

(14)

Число уровней, по которому рассчитывается среднее значение, называется интервалом сглаживания. Может быть четным или нечетным. При нечетном сглаживании полученное среднеарифметическое закрепляется за серединой расчетного интервала, при четном проводится дополнительное центрирование расчетных средних.

В задачах №11, 14-17 необходимо использовать методы экономического анализа, а именно индексный анализ.

Индексный метод используется для анализа темпов и пропорций развития экономики на основе использования макроэкономических показателей, цен и т.д. Индексы показателей могут отражать фактические или прогнозируемые темпы их изменения. Они позволяют получать реальную картину экономического и социального развития.

Пример 1. На основании имеющихся данных о реализации по группам товаров вычислить: 1) индивидуальные и общие индексы цен; 2) общий индекс физического объема продукции; 3) сумму экономии, полученную населением за счет общего снижения цен на данные товары. Сделайте краткие выводы.

Наименование групп	Продано в фактических ценах реализации, тыс. руб.	Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
Базисный период	Отчетный период
Кофе растворимый Какао Чай			-10 без изменения

Решение:

Индивидуальные индексы цен: i _кофе=0,90 i _какао=1,05 i _чай=1,00

Известно, что общий индекс цен есть: , (15)

где p₁ и p₀ –цена товара в отчетном и базисном периоде,

q₁ – количество (объем) продукции в отчетном периоде.

Так как i= p₁/p₀ => p₀ = p₁/ i, отсюда

Общий индекс физического объема продукции:

, (16)

где q₀ - количество (объем) продукции в базисном периоде.

Кроме того, известна связь между индексами:

I_p* I_q = I_pq,, (17)

где I_pq – общий индекс выручки

Определим сумму экономии населения за счет снижения цен:

тыс. руб.

Выручка от реализации продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным возросла на 12,5%, причем это связано с ростом объема реализованной продукции на 15,4% и снижением цен на 2,5 %.

Задачи №18-28 основаны на рассмотрении вопросов, связанных с прогнозированием научно-технического прогресса и экономического роста.

Качество экономического роста характеризует экономическая эффективность. Экономическая эффективность производства в обобщенном виде определяется как отношение результатов к затратам ресурсов (материальных, трудовых, финансовых), которые потребовались для их достижения.

В условиях рыночной экономики для выражения результатов на макроуровне используется показатель валового национального продукта, для выражения затрат — объем капитальных вложений, что выступает основным критерием эффективности:

Э_м =Δ ВНП / КВ (18)

где Э_му— экономическая эффективность на макроуровне;

Δ ВНП — прирост валового национального продукта;

KB— объем капитальных вложений, вызвавший этот прирост.

Данный показатель можно назвать интегральным, так как в нем отражена эффективность использования всех видов ресурсов.

Для измерения темпов экономического роста применяются различные макроэкономические показатели - валовой национальный продукт, валовой внутренний продукт, национальный доход, чистый национальный продукти другие.

В отечественной и зарубежной практике при прогнозировании ВНП (ВВП) широко используются экономико-математические модели. Суть факторных экономико-математических моделей экономического ростасостоит в установлении количественных связей между объемом и динамикой производства ВВП и объемом и динамикой производственных ресурсов. Наиболее приемлемой является двухфакторная модель в форме производственной функции:

y_t= a_t · x_1t^b · x_2t^c, (19)

где x_1t и x_2t - два производственных фактора (производственные фонды и затраты труда), изменяющиеся во времени.

Параметры b и c характеризуют зависимость (эластичность) объема и динамики продукции y_t от объема и динамики факторов производства x_1t и x_2t, причем а характеризует прирост у_t приходящийся на единицу прироста х_1t (при x_2t = const),a c - прирост y_t, приходящийся на единицу прироста x_2t (при x_1t = const). При этом должно выполняться условие b > 0 и c > 0. Параметр a_t отражает влияние не идентифицированных, т.е. не учтенных в модели факторов и меняющихся условий производства.

Для измерения экономической эффективности научно-технического прогрессаприменяются обобщающие и частные показатели. Из обобщающих показателей наиболее значимые — прирост прибыли и сводный (общий) эффект от внедрения новой техники, технологии. Прирост прибыли рассчитывается по формуле:

ΔП_п = [(Ц_н - С_н) – (Ц_б- С_б)] * О_пр, (20)

где ΔП_п - прирост прибыли от внедрения новой техники, технологии;

Ц_н - оптовая цена единицы продукции в условиях новой техники, технологии;

С_н - себестоимость единицы продукции в условиях новой техники, технологии;

Ц_б - оптовая цена единицы продукции в условиях заменяемой техники, технологии;

С_б - себестоимость единицы продукции в условиях заменяемой техники, технологии;

О_пр - прогнозируемый объем производства продукции.

В формуле (20) экономический эффект определен в размере экономии текущих затрат и не отражена экономия единовременных затрат (капитальных вложений). Для измерения экономии совокупных затрат (текущих и единовременных) используется формула сводного (суммарного) эффекта:

Э_с=ΣΔП – Е_н * ΣΔК, (21)

где Э_с— сводный (суммарный) эффект от внедрения новой техники, технологии;

ΣΔП — суммарный прирост прибыли;

ΣΔК — объем капитальных вложений, требуемый для финансирования научно-технических мероприятий;

Е_н — нормативный коэффициент эффективности внедрения новой техники.

Размеры социального эффекта могут быть выражены в количественной форме: снижение текучести кадров, заболеваемости, травматизма, повышение производительности труда вследствие улучшения его условий и др. Например, прирост продукции вследствие снижения уровня заболеваемости под воздействием улучшения условий труда может быть определен по формуле:

ΔО = Ч₁ * (У₁ – У₂) * Пр, (22)

где ΔО - прирост продукции вследствие снижения производственной заболеваемости;

Ч₁ - численность работников;

У₁ и У₂ - уровень заболеваемости до и после внедрения научно-технических новшеств (дней);

Пр - производительность труда одного работника в день.

Задачи №29, 37-40 дают возможность оценить эффективность инвестиционной деятельности и прогнозировать ее развитие.

Наиболее полная экономическая оценка инвестиционных проектов может быть проведена с применением следующих показателей:

Ø чистая современная стоимость (чистый приведенный доход);

Ø внутренняя норма доходности;

Ø срок окупаемости инвестиций;

Ø индекс рентабельности (индекс доходности);

Ø экономическая оценка рисков инвестирования.

Чистаясовременнаястоимость(NPV), рассчитывается по формуле

, (23)

где t — годы реализации инвестиционного проекта, включая этап строительства (t =0,1,2,3,..., n);

I_t - чистый поток платежей (сумма ежегодного дохода), включающий чистую прибыль и амортизацию по годам;

r— ставка дисконтирования или процентная ставка;

I₀ – инвестиции, направляемые на реализацию проекта (если инвестиции распределены по периодам реализации проекта, то они также дисконтируются).

В данной формуле первое слагаемое – современная стоимость денежного потока на протяжении экономической жизни проекта (PV), представляющая собой всю сумму денежных потоков за весь период реализации инвестиционного проекта.

Агропромышленные и другие инвестиции имеют экономический смысл только в том случае, если годовой доход от них выше, чем процент по банковским депозитам (вкладам) или по другим активам. Проект можно считать эффективным, если чистая современная стоимость имеет положительное значение. Например, предприятие покупает модуль для переработки сельскохозяйственной продукции стоимостью S. NPV от реализации переработанной продукции за период окупаемости модуля (без остаточной стоимости) превосходит величину S, т.е. инвестиционные вложения будут экономически выгодными.

Внутренняя норма доходности (ВНД) инвестиционного проекта представляет собой расчетную ставку процентов (r), при которой чистая современная стоимость равна нулю, т.е. когда доходы по проекту равны инвестиционным затратам: =I₀ (24)

Уравнение (24) решается относительно r каким - либо итерационным методом, а затем сравнивается с требуемой инвестором нормой дохода на вкладываемый капитал. При ставке ссудного процента, равной внутренней норме доходности, инвестирование финансовых средств в проект дает в итоге тот же суммарный доход, что и помещение их в банк на депозитный счет, т.е. альтернативы экономически эквивалентны. Если реальная ставка ссудного процента меньше внутренней нормы доходности проекта, то инвестирование средств в него выгодно. Также можно сравнить полученную норму данного проекта с нормой других инвестиционных проектов, определив уровень его привлекательности. За рубежом расчет внутренней нормы доходности часто применяется в качестве первого шага при финансовом анализе инвестиционного проекта. Для дальнейшего анализа отбирают те инвестиционные проекты, которые имеют ВНД не ниже некоторого порогового значения (обычно 15-20 % годовых).

Срок окупаемости (СО) — это период, в течение которого первоначальные вложения и другие затраты, связанные с инвестиционным проектом, покрываются суммарным результатом его осуществления. СО может быть рассчитан из зависимости: (25)

В данном случае t, обеспечивающее указанное равенство, является сроком окупаемости.

Индекс рентабельности (ИР) напоминает показатель эффективности капитальных вложений, представляя собой отношение суммы приведенных эффектов к величине инвестиций:

(26)

Индекс рентабельностипоказывает, сколько единиц современной величины денежного потока приходится на единицу предполагаемых первоначальных затрат. Если величина критерия ИP > 1, то современная стоимость денежного потока проекта превышает первоначальные инвестиции, обеспечивая тем самым наличие положительной величины NPV – чистой современной стоимости. При этом норма рентабельности превышает заданную, и проект следует принять. При ИP = 1 величина NPV = 0, и инвестиции не приносят дохода. Если ИP < 1, то проект не обеспечивает заданного уровня рентабельности и его следует отклонить.

Наряду с перечисленными критериями может использоваться и ряд других: точка безубыточности; простая норма прибыльности; капиталоотдача и др.

Задачи №32-35 предполагают усвоение материалов, относящихся к проблемам прогнозирование и планирования демографических процессов, использования трудовых ресурсов, определение социальной политики и уровня жизни населения.

Демографические прогнозы базируются на показателях естественного и механического движения населения, поэтому прогноз перспективной численности населения Ч _t можно выразить формулой:

Ч _t = Ч_б + К_р.о.* Ч_б - К_с.о.* Ч_б + М_п – М_в, (27)

где Ч_б — численность населенияв базисном периоде;

К_р._о.— ожидаемый коэффициент рождаемости;

К_с.о. — ожидаемый коэффициент смертности.

В составе прогнозируемых показателей наиболее значимы следующие: численность населениястраны по годам прогнозируемого периода, темпы роста численности, структура населения, ее динамика, трудовой потенциал, экономический потенциал населения, потребительский потенциал населения, жизненный фонд населения и др. Прогнозная численность населениязависит от рождаемости, смертности, его структуры, масштабов, интенсивности миграционных процессов.

Трудовой потенциал населения — показатель, отражающий его экономические возможности. Для определения трудового потенциала необходимо иметь информацию о средней продолжительности трудовой жизни отдельных возрастных групп населения (или поколений). Теоретически она равняется 44 годам для мужчин и 39 годам для женщин. С увеличением возраста продолжительность трудоактивной жизни соответственно сокращается. В действительности она меньше по разным причинам: часть времени трудоспособного возраста используется на приобретение образования, теряется вследствие заболеваний, существуют льготные категории профессий, относительно которых продолжительность трудовой жизни короче, часть времени в рыночных условиях теряется вследствие безработицы и т. Д. Кроме того, в расчетах учитывается трудовой фонд населения нетрудоспособного возраста.

На основе трудового потенциала населения может быть рассчитан его экономический потенциал. Этот показатель определяет возможные результаты реализации трудового потенциала населения и рассчитывается как произведение прогнозной производительности труда людей, занятых трудовой деятельностью, на их прогнозную численность с учетом того, что производительность труда лиц различных возрастных групп неодинакова:

О_пр=Σ В_{1,…, n} * Ч_{1,…, n} (28)

где О_пр — объем валового национального продукта, созданный населением в прогнозируемом периоде;

В_{1,…, n} — прогнозная величина валового национального продукта, созданного одним человеком каждой возрастной группы;

Ч_{1,…, n} — прогнозируемая численность населениякаждой n-ой возрастной группы.

Показатель потребительского потенциала населения отражает объем продовольственных и непродовольственных товаров, который может быть потреблен населением в течение прогнозируемого периода. Он рассчитывается как произведение норм потребления товаров, дифференцированных по половозрастным, профессиональным, социальным и другим группам на прогнозируемую численность населениясоответствующих групп. Разница между величинами экономического и потребительского потенциалов выражает экономическую эффективность жизни населения.

Показатель жизненного фонда населения определяет то количество лет, которое возможно прожить различным возрастным группам и всему населению при социально-экономических условиях прогнозируемого периода. Он рассчитывается как произведение средней продолжительности жизни населения различных возрастных групп на численность контингента каждой группы по формуле:

ЖФ = Σ Т_{1,…, n}^ср * Ч_{1,…, n} (29)

где ЖФ — жизненный фонд населения; Т_{1,…, n}^ср — средняя продолжительность жизни одного человека каждой группы; Ч_{1,…, n} — прогнозируемая численность населениякаждой n-ой группы.

Сумма денежных, натуральных доходов и материального потребления в сфере общественного обслуживания представляет собой номинальные доходы населения. В связи с нестабильностью цен и для достижения сопоставимости результатов, оценки уровня жизни населения введено понятие реальных доходов. Реальные доходы — это величина номинальных доходов за вычетом платежей, взносов, пересчитанных на индекс изменения цен в прогнозируемом периоде. При росте цен реальные доходы снижаются, а при падении возрастают.

Реальные доходыисчисляются по населению страны в целом и на душу населения. Рассчитываются темпы роста (снижения) реальных доходов. Индекс изменения реальных доходов на душу населения рассчитывается по формуле:

(30)

где S_п и S₀ - сумма реальных доходов населения в прогнозируемом и базисном периодах соответственно; Ч_п и Ч₀ - численность населенияв прогнозируемом и базисном периодах соответственно.