Частные производные первого порядка

Придадим аргументу х приращение , аргументу у приращение . Тогда функция примет значение . Величина называется полным приращением функции в точке . Если задать только приращение аргумента х или только у, то получим частные приращения: и .

Пример. Найти частные и полное приращения функции .
Решение.

Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемого независимого переменного при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначения:

По определению для функции

Пример.

Пример. Поток пассажиров z выражается функцией где х – число жителей, у - расстояние между городами. Найти частные производные и пояснить их смысл.

Решение. Производная показывает, что при одном и том же расстоянии у между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей. Производная показывает, что при одной и той же численности жителей х увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния у между этими городами.