Исследование формы эллипса

Из уравнения (6) следует, что , т. е. – a x , и

, т. е. – b y b.

Это означает, что эллипс целиком расположен в прямоугольнике с основанием 2 а и высотой 2 b, а его центр находится в начале координат.

Поскольку в уравнение (8) х и у входят только во второй степени, то эллипс симметричен относительно координатных осей ОУ и ОХ. Для эллипса, описываемого уравнением (8), начало координат является центром симметрии.

Разрешив уравнение (8) относительно у, получим

(9)

и (10).

Уравнение (9) определяет верхнюю (выше оси ОХ) половину эллипса, а уравнение (10) определяет его нижнюю (ниже оси ОХ) половину.

Точки пересечения эллипса с координатными осями называются его вершинами: верхней – ()В₁(0; b), нижней – ()В₂(0;– b), левой –()А₁(– a;0) и правой – ()А₂(+ a;0).

Отрезки А₁А₂ и В₁В₂ называются осями, а отрезки А₁О, ОВ₁, ОА₂, В₂О – полуосями эллипса. В случае, когда фокусы расположены на оси ОХ и a b, отрезок ОА = a называют большой полуосью, а отрезок ОВ = b – малой полуосью.

При a = b = r уравнение (8) принимает вид

х ² + у ² = r ² (11).

Это соответствует окружности радиуса r с центром в начале координат.

Если параллельным переносом центр эллипса (8) переместить в ()М₀(х ₀; у ₀), то его уравнение примет вид

(12).

Уравнение окружности радиуса r с центром в ()М₀(х ₀; у ₀) будет иметь вид

+ = r ² (13)