Гипербола. Вывод её канонического уравнения

Определение: Гиперболой[6] называется множество точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек (фокусов[7]), лежащих в этой же плоскости, есть величина постоянная.

Обозначим эту постоянную как 2 а, а расстояние между фокусами F₁ и F₂ как 2 с (фокусное расстояние), причём a c.

Построим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а её положительное направление совпадало с направлением вектора . Начало координатной системы разместим в центре отрезка . Тогда координаты фокусов будут иметь вид (– с;0) и

(с;0).

Пусть М (х; у) – произвольная точка гиперболы, тогда

F₁ M – F₂ M = 2 a (23).

F₁ M = F₂ M =

Тогда уравнение гиперболы принимает вид

2 a (24).

Знак «–» в правой части выражения (24) получается в том случае, когда в левой части равенства уменьшаемое оказывается меньше вычитаемого.

После упрощений, подобных тем, что делались в §1, получим

каноническое уравнение гиперболы

(25),

где с²– (26).