Идеальные кристаллы. Решетки Бравэ

Выше были описаны условия образования равновесной кристаллической решетки. Она представляет собой модель кристалла, описывающую расположение атомов (ионов, молекул) в пространстве. Различают решетки Бравэ и решетки с базисом. В кристаллографии используют и другие системы классификации кристаллов [4].

В этом разделе мы будем рассматривать идеальные кристаллы – совершенные структуры, обладающие строгой периодичностью расположения атомов. Уже само название говорит о том, что таких кристаллов в природе нет, есть более или менее совершенные структуры, однако, понятие «идеальный кристалл» позволяет более наглядно представить структуры реальные. Решетки Бравэ, или трансляционные решетки, создаются с помощью операции параллельного перемещения (трансляции) частиц (атомов, ионов). Вектор трансляции , где m, n, q – целые числа. В кристаллографии для аналитического описания кристалла используют трехмерную систему координат, которую выбирают в соответствии с симметрией кристалла. Декартова система в этом случае неудобна, поскольку она прямоугольна и имеет равномасштабные оси координат. Такая система не позволяет достаточно полно и наглядно отразить основные свойства кристаллов, их симметрию и анизотропию. Оси кристаллографической системы координат, как правило, совпадают с векторами, на которых построена элементарная ячейка (рис. 1.2). Под элементарной ячейкой понимают минимальный объем кристалла, который еще сохраняет его структуру.

Рис. 1.2. Элементарная ячейка: , α, β, γ – параметры ячейки кристалла

Все элементарные ячейки кристалла имеют одинаковую структуру и объем. Во всех вершинах ячеек располагаются атомы или группы атомов. Их называют узлами решетки. В зависимости от соотношения параметров ячейки различают семь типов симметрий, или сингоний Бравэ (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Решетки Бравэ

Сингония	Параметры ячейки	Возможная структура ячейки
углы	ребра
триклинная	α ≠ β ≠ с ≠90º	a ≠ b ≠ c	ПР
моноклинная	α = γ =90º, β ≠90º	a ≠ b ≠ c	ПР, БЦ
ромбическая	α = β = γ =90º	a ≠ b ≠ c	ПР, БЦ, ГЦ, ОЦ
тетрагональная	α = β = γ =90º	a = b ≠ c	ПР, ОЦ
тригональная (ромбоэдрическая)	α = β = γ ≠90º	a = b = c	ПР
гексагональная	α = β =90º, γ =120º	a = b ≠ c	ПР
кубическая	α = β = γ =90º	a = b = c	ПР, ОЦ, ГЦ

Различают четыре типа структуры элементарных ячеек. Примитивная ячейка (ПР) содержит частицы только в вершинах. С учетом соседних ячеек, на такую ячейку приходится один атом.

Базоцентрированная (БЦ) ячейка кроме частиц в узлах имеет частицы в центрах верхней и нижней граней.

Если добавить частицы в центры остальных граней, получим гранецентрированную (ГЦ) элементарную ячейку с четырьмя частицами.

Объемноцентрированная (ОЦ) ячейка отличается от примитивной тем, что содержит в центре еще одну частицу.

Очевидно, что существует 14 различных решеток Браве (четвертый столбец таблицы). Можно строго доказать, что это действительно так.

Однако существуют кристаллические решетки, структура которых не совпадает ни с одной из решеток Браве. Такую решетку можно представить в виде двух вставленных друг в друга решеток Бравэ, их расстояние друг относительно друга описывается дополнительным вектором а, называемым базисным.

Такую решетку называют решеткой с базисом. Ее можно построить с помощью тех же трансляций, что и каждую из составляющих решеток Бравэ, но при этом нужно транслировать не один, а несколько узлов – базис. Например, решетку типа алмаза можно образовать двумя вставленными друг в друга ГЦК решетками, смещенными на ¼ диагонали ячейки.

Представим себе трехмерную кристаллическую структуру любой сингонии. Перемещаясь по тесной структуре в различных направлениях, мы на единицу длины встретим различное число частиц, т. е. «линейная плотность» кристалла зависит от направления. Очевидно, это одна из причин анизотропии свойств кристалла. Следовательно, в кристалл необходимо ввести некие правила ориентации. Такими «координатами» являются индексы Миллера для узлов, направлений и плоскостей.

Индексы узлов. Положение любого узла кристаллической решетки относительно выбранного начала координат определяется заданием трех координат (рис. 1.3, а) – x, y, z, которые можно выразить так:

x = ma, y = nb, z = qc,

где a, b, c – параметры решетки,

m, n, q, целые числа.

Если за единицы измерения длины принять параметры решетки, то координатами узла будут числа m, n, q. Они называются индексами Миллера для узла и записываются в двойных квадратных скобках – [[m n q]].

Индексы направлений. Для описания направления в кристалле выбирается вектор, проходящий через начало координат и через первый на его пути узел [[ m n q ]]. Поэтому индексы этого узла определяют индексы направлений – [ m n q ] (рис. 1.3, б).

б)

в)

а)

а) б) в)

Рис. 1.3. Индексы Миллера: a – индексы узлов; б – индексы направлений;

в – индексы плоскостей

Индексы плоскостей. Для нахождения индексов плоскости можно определить отрезки, отсекаемые ее на осях координат M, N, Q. Затем находят обратные величины 1/ m, 1/ n, 1/ q и полученные дроби приводят к общему знаменателю D, m = D / M, n = D / N, q = D / Q. Полученные целые числа и есть индексы плоскостей (m, n, q).

Можно найти индексы плоскостей и другим способом, учитывая, что плоскость и перпендикулярное ее направление имеют одинаковые индексы (рис. 1.3, б, в).