Пример 1. Определить число узлов, приходящееся на одну элементарную ячейку в базоцентрированной ромбической решетке.
Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 3.1) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит той или иной узел выделенной ячейки. Узлы в углах принадлежат одновременно восьми элементарным ячейкам, узлы на гранях принадлежат только двум ячейкам. Поэтому общее число узлов, приходящееся на одну базоцентрированную ячейку,
n = 1/8 × 8 + 1/2 × 2 = 2 узла.
`
Рис. 3.1. Элементарная ячейка
Пример 2. Определить число элементарных ячеек кристалла меди объемом V = 1 см3.
Решение. Число элементарных ячеек кристалла определяется из выражения (3.4)
z = ρkNaV / nM.
Поскольку ячейка состоит из одинаковых атомов, то k = 1. Плотность меди считаем известной (ρ = 8,93 × 103 кг/м3). Малярная масса вещества определяется с помощью периодической таблицы Менделеева (М = 63,55 × 10-3 кг/моль). Медь относится к кристаллам гранецентрированной кубической решетки, следовательно ее ячейка содержит 4 атома (n =4).
|
|
Подставив данные в расчетную формулу, получим z = 8,93 × 103 × 1 × 6,02 × 1023 × 1 × 10-6/(4 × 63,55 × 10-3) = 2,11 × 1022.
Пример 3. Определить параметры решетки а и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция.
Решение. Поскольку кальций имеет ГЦК-решетку, то объем элементарной ячейки V = a 3. С другой стороны, объем элементарной ячейки может быть найден из соотношения (3.2)
V = VM / ZM.
В результате можно записать с учетом (3.4)
a = .
Подставляя значения величин n, М и Na в формулу и проводя вычисления, получим а = 556 пм.
Расстояние между ближайшими соседними атомами находится из простых геометрических соображений
d = a / .
d = 393 пм
Пример 4. Написать индексы направления прямой, проходящие через узлы [[110]] и [[011]] кубической примитивной решетки.
Решение. Рассмотрим аналитический метод решения. Напишем в общем виде уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве, с индексами узлов [[m1 n1 p1]] и [[m2 n2 p2]
Величины, стоящие в знаменателях, пропорциональны направляющим косинусам прямой. Но так как эти величины целочисленны (по определению), то они и будут являться индексами направления. Подставляя в знаменатели данного выражения значения индексов узлов, получим:
m2-m1=0-1=-1
n2-n1=1-1=0
p2-p1=1-0=1
Таким образом искомые индексы направления [101].
Возможен также графический способ решения.
Пример 5. Найти индексы Миллера для плоскости, содержащей узлы с индексами [[2 0 0]], [[0 1 0]] и [[0 0 2]].
Решение. Анализ условий задачи показывает, что известны отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Отрезки выражаются в единицах постоянной решетки соответственно 2,1,2. В соответствии с общим правилом нахождения индексов Миллера запишем обратные значения данных чисел ½; 1/1; ½ и приведем их к наименьшему целому кратному этих чисел (умножив их на 2). Полученная совокупность значений и есть искомые индексы Миллера – (1 2 1).
|
|
Можно воспользоваться аналитическим методом, решая задачу об отыскании уравнения плоскости, проходящей через три точки с заданными индексами Миллера. Особенно удобен этот способ в том случае, когда точки не лежат на осях координат.
Задачи
1.1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку примитивной решетки кубической сингонии? Нарисовать ячейку.
1.2. Назвать и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки кубической сингонии, содержащую 2 атома.
1.3. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку гранецентрированной решетки кубической сингонии? Нарисовать ячейку.
1.4. Определить и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки гексагональной сингонии, если она содержит 2 частицы.
1.5. Сколько атомов приходится на две смежных элементарных ячейки триклинной сингонии? Нарисовать ячейки.
1.6. Определить и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки моноклинной сингонии, если она содержит 1 частицу.
1.7. Сколько атомов приходится на две элементарных ячейки базоцентрированной решетки ромбической сингонии. Нарисовать ячейки.
1.8. Определить и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки ромбической сингонии, если она имеет 2 частицы.
1.9 Сколько атомов приходится на четыре элементарных ячейки гранецентрированной решетки ромбической сингонии? Нарисовать ячейки.
1.10. Определить и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки тетрагональной сингонии, если она содержит 2 атома.
1.11. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом V =1 м3 (ГЦК решетка).
1.12. Определить число частиц в кристалле CsCl объемом 1 м3 (ГЦК).
1.13. Найти число элементарных ячеек в кристалле меди объемом V =1 см3 (ГЦК).
1.14 Определить число частиц в кристалле меди объемом 10 см3 (ГЦК).
1.15. Вычислить число элементарных ячеек в кристалле кобальта объемом 1 м3(структура гексагональная).
1.16. Определить число частиц в 1 см3 кристалла кобальта (структура гексагональная).
1.17. Найти число элементарных ячеек в 10 см3 кристалла магния (структура гексагональная).
1.18. Определить число частиц в 5 см3 кристалла магния (структура гексагональная).
1.19. Найти число элементарных ячеек в 5 см3 бериллия (структура гексагональная).
1.20. Определить число частиц в 1 м3 кристалла бериллия (структура гексагональная).
1.21. Определить плотность кристалла гелия при температуре 2К. Структура гексагональная, а =0,357 нм.
1.22. Вычислить постоянную решетки кристалла бериллия, который имеет гексагональную структуру, параметр решетки равен 0,359 нм.
1.23. Определить постоянные а и с решетки магния, который представляет собой гексагональную структуру.
1.24. Вычислить постоянную решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами для алюминия (ГЦК).
1.25. Определить атомную массу кристалла, если известно, сто расстояние d равно 0,304 нм.
1.26. Вычислить постоянную решетки и расстояние d для вольфрама (ОЦК).
1.27. Найти плотность кристалла неона (Т=20К), если решетка ГЦК и а=0,452 нм.
1.28. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что его решетка ГЦК и а =0,43 нм.
1.29. Найти постоянную решетки и расстояние d для кристалла стронция (ГЦК).
1.30. Вычислить постоянную решетки и расстояние d для кристалла меди (ГЦК).
1.31. Написать индексы направлений прямых, проходящих в кубической решетке через начало координат и узел с кристаллографическими индексами, в двух случаях 1) [[1 2 1]]; 2)[[1 1 2]]. Показать на рисунке.
1.32. Написать индексы направлений,проходящих через два узла 1) [[1 2 1]] и [[1 3 1]]; 2) [[2 1 1]] и [[1 1 1]]. Показать на рисунке.
|
|
1.33. Найти индексы Миллера плоскости, отсекающей на осях координат отрезки ; ; . Показать на рисунке.
1.34. Найти индексы плоскости, отсекающей на осях отрезки ; ; . Показать на рисунке.
1.35. Найти индексы вертикальной плоскости, отсекающей на оси х отрезок 2 а, на оси у – отрезок 3 b. Проиллюстрировать плоскость.
1.36. Найти индексы плоскости, отсекающей на осях отрезки 1а; -3b; 2с. Дать иллюстрацию плоскости.
1.37. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (1 1 1). Определить расстояние d между соседними плоскостями, если параметр решетки равен 0,3 нм.
1.38. Система плоскостей в примитивной кубической решетке задана индексами Миллера (2 2 1). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и изобразить эту плоскость графически.
1.39. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей (-2 1 2) равно 0,12 нм.