2015-02-04
474
Колебания, возникающие в электрической цепи, содержащей R, L, C (рис2), под действием внешней переменной электродвижущей силы
ε=εм. cosωt, называются вынужденными.
 |
Рис.2
Вынужденные колебания в электрической цепи описываются уравнением (5)
(5)
где 
- переменная ЭДС.
- амплитудное значение переменной ЭДС.
ω – циклическая частота переменной ЭДС, с-1.
Переменная ЭДС возбуждает в цепи переменный ток той же частоты ω, изменяющейся по закону (6)
I=IМ .cos(ωt+φ) (6)
где φ – сдвиг по фазе между током и ЭДС.
В общем случае ток и ЭДС в такой цепи по фазе не совпадают. Значения тока и сдвиг по фазе зависят от параметров цепи R, L, C.
Рассмотрим электрическую цепь (рис.2), где R, L, C соединены последовательно с ЭДС. Выясним, как изменяются напряжения на каждом из участков R, L, C.
По закону Ома напряжение на участке R выразится формулой (7)
UR=IR=IMRcos(ωt±φ) (7)
Из сравнения (6) и (7) видим, что напряжение на активном сопротивлении R и ток совпадают по фазе. На векторной диаграмме амплитудные значения этих величин откладываем вдоль одной прямой(рис.3)
|
|
|
 |
Рис.3
Из формулы(7) ясно, что амплитудное значение напряжения URM=IMR, где R – активное сопротивление, определяющее затраты энергии на ленц – джоулево тепло (потребляет мощность).
Напряжение на катушке индуктивности определяется по формуле:
где εCU – ЭДС индукции, В;
İ – первая производная от тока по времени.
После дифференцирования (6) и замены функции синуса на косинус получим формулу (8)
UL=IMωLcos((ωt±φ)+π/2) (8)
Сравнивая (6) и (8) видим, что направление UL опережает ток по фазе на π/2. На векторной диаграмме это выглядит так: (рис.4).
 |
Рис.4
Из формулы (8) запишем
ULM=IMωL (9)
где ULM – амплитудное значение напряжения;
ΩL – индуктивное сопротивление (RL), которое определяет затраты энергии на возбуждение магнитного поля в катушке.
Напряжение на конденсаторе определяется по формуле:
UC=Q/C
Учитывая (6) и то, что 
после интегрирования и перехода к функции косинуса получим формулу (10)
(10)
где 
– амплитудное значение напряжения на конденсаторе;
– емкостное сопротивление, определяющее потери энергии на возбуждение электрического поля в конденсаторе.
Из (6) и(10) видно, что напряжение UC отстает от тока по фазе на π/2. Векторная диаграмма для этого случая изображена на рис.5.
 |
Рис.5
Сопротивления RL и RC называются реактивными (не потребляют мощность).
В замкнутой цепи, изображенной на рис.2, для каждого момента времени имеет место соотношение
Построим (рис.6) векторную диаграмму сложения напряжений в цепи, учитывая сдвиги фаз между ними и током. Для этого выберем ось X и под углом (ωt±φ) к ней проводим прямую на которой откладываем 
и 
от этой прямой вверх под углом π/2 откладываем 
, а вниз под углом π/2 откладываем 
и проводим сложение векторов , и . В результате сложения получим вектор 
.
|
|
|
Рис.6
Проекции векторов , , , и на ось X представляют собой мгновенные значения этих величин. Взаимное расположение векторов, изображенное на рис.6, сохраняется для любого момента времени. Но в зависимости от соотношения между абсолютными значениями векторов и ток может отставать от ЭДС по фазе (как на рис.6), а может и опережать, если 
. Из ΔОАВ следует
εM2 = (ULM – UCM)2 + URM2
После преобразования с учетом амплитудных значений величин ULM, UCM и URM получим
(11)
Формула (2.7) является законом Ома для цепи переменного тока. Величина 
является сопротивлением цепи переменного тока, содержащей R, L, C соединенные последовательно. Из ΔОАВ (рис.6) находим сдвиг по фазе φ между током и ЭДС по формуле
(12)
