Пример 2. Вывод зависимости для периода математического маятника

Рассмотрим математический маятник: груз массы m, подве­шенный на невесомой нити длиной l. Маятник колеблется в поле силы тяжести (ускорение которой равно g).

Период колебаний маятника Tможет зависеть от массы m, длины нити l и ускорения силы тяжести g:

T~ l, m,g.

В классе систем единиц LMTмасса mи длина l имеют размер­ности основных единиц [m]=(0,1,0), [l]=(1,0,0)

Что же касается ускорения g, то его размерность производная от размерностей основных единиц L,М,Т:[g]=(1,0,-2)

Период Тимеет размерность [T]=(0,0,1).

Так как векторы для массы, длины и времени линейно независимы (величины L, М и Тразмерно независимы), в какой бы степени ни входили m иlвсоотношение для T, получить вектор с ненулевой третьей компонентой все равно не удастся. Вместе с тем необходимо убрать отличные от нуля компоненты векторов массы и длины. Так как векторы массыи длины линейно независимы, и вторая компонента вектора размерности [Т]равна нулю, вектор массы должен входить в линейную комбинацию, дающую вектор времени с нулевым коэффи­циентом (период не зависит от массы), а векторы длины и ускорения - с коэффициентами, равными по абсолютной величине, но противопо­ложными по знаку.

Нетрудно видеть, что

[T]= (1/2)[[l]-[g]],

Или T~ (l/g)^1/2.

Точная формула отличается от соотношения для периода только числовым коэффициентом:

T=2π (l/g)^1/2 .

Законы механики. Определение массы. Сила. Виды сил, импульс.

Одномерная. Трехмерная запись. Интегрирование частных случаев при отсутствии сил. Условия корректности математической постановки задачи Коши.