Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования

Метод размерностей работает в очень широком диапазоне порядков величин, он позво­ляет оценивать размеры Вселенной и характеристики атомного ядра, проникать внутрь звезд, изучать волны на поверхности лужи и подсчитывать количество взрывчатки при строи­тельстве туннелей в горах.

По мере приобретения навыков впечатление от метода размерностей должно смениться пониманием того, что уже на самой первой ста­дии применения этого метода - при выписывании систе­мы, определяющих взаимосвязь параметров - необходимо чет­ко представлять себе саму физику явления. Метод раз­мерностей не открывает новых фундаментальных законов и, не подвергает сомнению установленные законы. Вместе с тем даже люди, не имеющие глубоких специаль­ных знаний, могут получить из соображений размернос­ти не только функциональную зависимость, но часто и чис­ленную оценку.

Этот метод сам служит одним из важных стимулов к углубленному изучению физики, создавая при удачном его применении отнюдь не обманчивое ощущение собствен­ных возможностей, он помогает быстро прикинуть, что должно получиться в ответе, проверить сам ответ, восстановить забытую формулу.

При разумном выборе параметров безразмерные комби­нации функционально связанных величин всегда оказы­ваются порядка единицы. Законы природы не зависят от масштабов, которыми мы измеряем длину, время, массу и другие физические величины. Выбираемые единицы измерений во мно­гом носят случайный характер, такой выбор связан с удобствами, привычками и историческими тради­циями.

Поэтому естественно пытаться выражать за­коны природы, т. е. уравнения, связывающие различные физические величины, в таком виде, чтобы они не зависе­ли от выбора масштабов. Так приходят к безразмер­ным соотношениям. Но когда образованы безразмер­ные соотношения из функционально связанных величин, можно потребовать, чтобы эти со­отношения были порядка единицы, поскольку другого выбора не имеется.

Существование безразмерных физических соотноше­ний есть, по существу, проявление принципа подобия – при изменении масштабов численные значения физичес­ких величин, конечно, меняются, физические же законы ме­няться не должны.

Размерные оценки базируются на преобразованиях подобия, являющихся частным случаем аффинных преобразований. Рассмотрим свойства этих преобразований.

Преобразование

f: x_i' = kx_i, i=1,..n (3.1)

или

р(А', В')=kр(А, В)

где А и В— любые две точки пространства, А' и В' — их образы под действием преобразования f (3.1), называется преобразова­нием подобия с коэффициентом подобия k.

При k = 1, f - тождественное преобразование; при k > 1, f - растяжение, при к < 1, f - сжатие. Коэффициент подобия kудобно представить в кано­ническом виде:

к = е^α (3.2)

(по сравнению с (3.1) канонический вид (3.2) обладает тем преимуществом, что при нулевом значении параметра преобразо­вания α, мы получаем тождественное преобразование, а условия преобразования имеют вид, соответственно, в условия α=0, f - тождественное преобразование,

при α > 0, f - растяжение, при α < 0, f – сжатие.

Важно подчеркнуть, что в случае преобразования подобия ко­эффициент подобия по всем направлениям один и тот же. Преоб­разование подобия изменяет размеры фигур, но не их форму. Фор­ма - инвариант преобразования подобия.