2015-02-04
355
Отсюда сразу следует простой алгоритм размерных оценок.
1.Выписать группу N физических величин, между которыми, есть какая-то взаимосвязь.
2.Поставить размерности этих величин, выраженные через К ≤ N размерностей основных величин.
3.Составить из выписанных величин безразмерные произведения. Некоторые величины при этом, возможно, придется возвести в какие-то степени.
Если N - К = 1, безразмерное произведение будет единственным.
4.Приравнять это произведение безразмерной константе, в результате получается искомая закономерность.
Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.
Пример 1. Оценка зависимости скорости распространения волны в струне, закрепленной с одного конца и возмущенного второго.
1.Скорость распространения бегущей волны v может зависеть, очевидно, от силы натяжения струны F, ее длины l и массы m, т.е от четырех величин(v, F, l и m; N = 4), связь между которыми нас интересует.
2.Выпишем размерности этих величин (в системе измерения СГС): v ~ см/с, F ~ г • см/с2, l ~ см, m ~ г.
|
|
|
Число основных величин К = 3 (см, г, с). Значит N - К = 1.
3.Составим произведение
vFαlβ mγ
(α, β, γ - некоторые числа), которое будет безразмерным, если потребовать обращения в нуль показателей степеней каждой из основных величин, входящих в vFαlβ mγ. Размерность этого последнего выражения есть
см1+α+β гα+γс-1-2α
Из системы уравнений:
1+α+β =0,
α+γ =0,
-1-2α =0,
следует, что α =-1/2 β = -1/2 γ =1/2.
Тот факт, что выписанная система уравнений имеет единственное решение, гарантирует нам, что безразмерная комбинация vF-0.5l-0.5m0.5 также единственная. Искомая закономерность выражается формулой:
vF-0.5l-0.5m0.5 = k,
где k-безразмерная постоянная, или
v = k (F0.5l0.5/m 0.5)= k ((F*l)/m)0.5.
Размерноcти обеих частей последнего равенства, конечно, одинаковы.
В дальнейшем будет подразумеваться аналогичный подход при иллюстрации метода размерных оценок в различных разделах физики.
