Распределение молекул по скоростям

Среднюю квадратичную скорость молекул газа при температуре Т можно оценить по (2) и (6): (12).

Однако, отдельные молекулы даже в случае одного типа газа имеют разные скорости. Разброс по скоростям может быть весьма ве­лик. Это отражено на рисун­ке, на котором по вертикали отложена доля от общего числа молекул в единице объема Δ n/n, имеющих скорости в некотором интервале от υдо υ + Δ υ, в расчете на еди­ницу этого интервала, т. е. Δ n/(n· Δ υ).

Кривая на рисунке имеет максимум, т. е. молекул со ско­ростью больше всего ( – наиболее вероятная скорость). Вид­но, что есть молекулы с υ, близкими к нулю, и есть молекулы с очень большими υ. Максвелл теоретически вывел формулу для этой функции распределения f(υ): (13).

Для нахождения положения максимума, т. е. наиболее вероятной скорости , надо это выражение продифференцировать и приравнять производную нулю. Получится (14).

При повышении температуры кривая деформируется, смещается в сторону больших скоростей (более вероятны боль­шие скорости). Это показано на рисунке пунктиром.

Распределение Больцмана

Молекулы газа, находящиеся в поле тяготения, участвуют в тепловом движении и испытывают действие силы тяжести. Это приводит к стационарному состоянию, при котором наблюдается уменьшение концентрации n и давления p газа с возрастанием высоты над Землей.

К этому выводу можно прийти путем таких рассуждений. На рисунке пока­зан столб газа. На высоте h выделим слой толщиной dh. Слой dh давит своей тяжестью dm·g = ρ·S·dh·g на нижний слой. В результате давление (сила на единицу площади) над слоем будет на dp = ρ·g·dh меньше, чем под слоем и связь между ρ и h будет такой: –dp= ρ·g·dh. Перед dp поставлен знак «минус», так как с увеличением h давление р не возрастает, а убывает, прираще­ния dh и dp имеют разные знаки. Если заменим, использовав (8), dp на k·T·dn и плотность ρ на m₀·n, то получим:

(15). Вычислив определенный интеграл от (15),

(16) получим выражение (17),

где n₀– концентрация молекул у поверхности (h=0), ε_П – потенциальная энергия молекулы (в общем случае не только в поле силы тяжести).

(17) справедливо, если Т с высотой не меняется, что не всегда так.

Это очень важное не только для этого раздела выражение – формула Больцмана – распределение числа частиц по энергии.