Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1 (теорема суммы несовместных событий). Вероятность наступления одного из двух несовместных событий (безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Следствие 1. Вероятность наступления одного из нескольких попарно несовместных событий (безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий:

Р ( + + … + ) = Р () + Р () + … + Р ().

Следствие 2. Вероятность события А равна единице минус вероятность его противоположного события Ā:

P (A) = 1 – P (Ā).

Теорема 2 (вероятность суммы совместных событий). Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного наступления:

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (A ∙ B).

Определение 1. Условной вероятностью P_A (B) называется вероятность события В при условии, что событие А уже наступило.

Теорема 3 (вероятность произведения двух независимых событий). Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P (A ∙ B) = P (A) ∙ P (B).

Следствие 3. Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P (A ₁ · A ₂ · … ·A_n) = P (A ₁ ) · P (A ₂) · … · P (A_n).

Теорема 4 (вероятность произведения двух зависимых событий). Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие наступило:

P (A ∙ B) = P (A) ∙ P_A (В).

Следствие 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

Р (A ₁ · A ₂ · … ·A_n)= P (A ₁)∙ (A ₂)∙ () ∙ … ∙ .