Решение систем линейных уравнений способом Гаусса

Способ Гаусса является одним из наиболее распространенных способов решения систем линейных уравнений. Если точно выполнить все необходимые действия, то мы получим точное решение системы. В этом смысле способ Гаусса называют точным.

Практически, поскольку арифметические действия приходится выполнять с округлением, точного решения получить не удается.

В основе способа Гаусса лежит идея последовательного исключения неизвестных. Вычислительные схемы реализации этого способа могут быть различны. Мы рассмотрим одну из них – схему единственного деления.

Для удобства изложения ограничимся рассмотрением примера конкретной системы четвертого порядка. Те же приемы используются и в случае большего числа уравнений в системе:

(2.9)

Предположим, что коэффициент , называемый ведущим элементом первой строки, не равен нулю. Разделив первое из уравнений (2.6) на , получим:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = , (2.10)

где

Исключим х₁, вычитая из каждого уравнения системы (2.9), начиная со второго, уравнение (2.10), умноженное на коэффициент при x ₁, в соответствующем уравнении. В результате получим

(2.11)

где i = 2,3,4; j = 2,3,4,5.

Допустим, что ведущим является элемент второй строки ≠ 0. Тогда, разделив на него члены первого из уравнения (2.11), получим уравнение

х₂ + х₃ + х₄ = ,(2.12)

где

Исключив с помощью уравнения (2.12) неизвестную величину х₂ из двух последних уравнений (2.11), приходим к уравнениям вида

(2.13)

где i = 3,4; j = 3,4,5.

Если ведущим является элемент третьей строки ≠ 0, то, поделив на него члены первого из уравнений (2.13) и вычтя найденное уравнение, умноженное на из второго уравнения, получим

х₃ + х₄ = , (2.14)

х₄ = , (2.15)

где

Наконец, если элемент ≠ 0, то, разделив на него уравнение (2.15), приведем его к виду

х₄ = , (2.16)

где =

Итак, мы получим систему с треугольной матрицей, эквивалентной системе (2.9)

(2.17)

Эта система получена путем объединения уравнений (2.10), (2.12), (2.14) и (2.16). Процесс приведения системы (2.9) к треугольному виду (2.17) называется прямым ходом, а нахождение неизвестных из системы (2.17) – обратным ходом.

Решение системы уравнений по способу Гаусса удобно производить, занося все вычисления в табл. 2.3

Таблица 2.3

. . .	. . .
. . .	. . .	. . .		х₄
. . .	. . .		…	х₃
. . .		…	…	х₂
	…	…	…	х₁

В табл. (2.3) единицами, расположенными в соответствующих диагоналях, указываются строки с коэффициентами, соответствующими выражениям (2.17), по которым определяются неизвестные х_i. Кроме того, элемент опущен, так как он совпадает с х₄.