Уравнений методом Ньютона

8 9 10 11 12 13 14

Запишем нелинейную систему уравнений в общем виде

(2.24)

Эту систему можно записать короче в матричном виде, рассматривая совокупность аргументов как n-мерный вектор:

х =

а совокупность функций f₁, f₂,…, f_n – тоже как n- мерный вектор:

f =

Тогда будем иметь

f (х) = 0.(2.25)

Для решения системы (2.24) будем пользоваться методом последовательных приближений. Предположим, что найдено р -е приближение

х ^(р) = ( ) одного из корней х = (х ₁, х ₂, …, х _n) векторного уравнения (2.25). Тогда точный корень уравнения можно представить в виде

х = х^(р) + ε^(р) = 0, (2.26)

где ε^(р⁾ = ( ) – погрешность корня. Подставляя выражение (2.26) в уравнение (2.25), будем иметь

f (х ^(р) + ε ^(р)) = 0. (2.27)

Предполагая, что функция f (х) непрерывна, и дифференцируема, разложим левую часть уравнения (2.27) по степеням малого вектора ε^(р), ограничиваясь линейными членами

f (х ^(р) + ε^(р)) = f (х ^(р))+ f’ (х ^(р)) ε^(р) = 0,(2.28)

где f’ (x) есть матрица Якоби системы функций f₁, f₂,…, f_n относительно переменных х₁, х₂,…, х_n, т.е.

f’ (x) = W(x) =

Учитывая эту матрицу, формулу (2.28) можно записать в виде

f (х ^(р)) + W(х ^(р))ε⁽^p⁾ = 0.

Отсюда, предполагая, что матрица W(х ^(р)) неособенная (ее определитель не равен 0), получим

W(х ^(р)) ε⁽^p⁾ = - f (х^(р))

По аналогии с методом касательных, где (n+1) – е приближение выражается через формулу (2.4), (р + 1) – е приближение в нашем случае можно записать в виде

х ^(р+1) = x ⁽^p⁾ – W^-1(x ⁽^p⁾) f (x ⁽^p⁾), p = 0,1,2,… (2.29)