Разделённые разности

При построении таблицы разностей мы до сих пор предполагали, что значения аргумента функции являются равноотстоящими т.е. имеют постоянный шаг. Однако на практике встречаются таблицы для не равноотстоящих значений аргумента, т.е. таблицы с переменным шагом. Для таких таблиц понятие конечных разностей обобщается в так называемые разделенные разности.

Пусть функция у =f(x) задана таблицей и х ₀, х ₁, х ₂,… – значения аргументов, а у ₀, у ₁, у ₂,… - соответствующие значения функции, где разности Δ х ₁ = х _i+1 – x _i ≠ 0,(i = 0,1,2,…) не равны между собой.

Отношения

[ x _i, x _i+1 ] = (i = 0,1,2…)

называются разделенными разностями первого порядка.

Например,

[ x ₀, x ₁] = ;[ x ₁, x ₂] = ;и т.д.

Аналогично определяются разности второго порядка

(i = 0,1,2,…)

Например, [ x ₀, x ₁, x ₂] = и т.д.

Вообще разделенные разности n -го порядка получаются из разделенных разностей (n -1)– го порядка с помощью рекуррентного соотношения

[ x _i,…, x _i+n] = ;(n = 1,2,…; i = 0,1,2,…).(3.19)

Заметим, что разделенные разности не меняются при перестановке элементов, т.е. представляют собой симметрические функции своих аргументов.

Например, [ x ₀, x ₁] = = [ x ₁, x ₀]и т.д.

Разделенные разности обычно располагаются в таблице приведенного ниже вида.

Таблица 3.9

x	y	Разделенные разности
1-го порядка	2-го порядка	3-го порядка	4-го порядка
х 0 х1 х 2 х 3 х 4	y0 y1y2 y3 y4	[ x 0, x 1] [ x 1, x 2] [ x 2, x 3] [ x 3, x 4]	[ x 0, x 1, x 2] [ x 1, x2, x 3] [ x 2, x 3, x 4]	[ x 0, x 1, x 2, x 3] [ x 1, x 2, x 3, x 4]	[ x 0, x 1, x 2, x 3, x 4]

Пример. Составить разделенные разности для функции, заданной табл. 3.10

Таблица 3.10

х		0,2	0,3	0,4	0,7	0,9
y	132,651	148,877	157,764	166,375	195,112	216,000

Решение. Последовательно применяя формулу (3.19), получим.

;

;

;

;

;

и т.д.

Полностью результаты вычисления приведены в табл. 3.11

Таблица 3.11

x	y	Разделенные разности
1-го порядка	2-го порядка	3-го порядка	4-го порядка
0,2 0,3 0,4 0,7 0,9	132,651 148,877 157,764 766,375 195,112 216,000	81,13 85,87 89,11 94,79 104,44	15,8 16,2 16,7 17,3

Без подробных выкладок приведем интерполяционную формулу Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента

Р (х) = y ₀ + [ x ₀, x ₁](x - x ₀) + [ x ₀, x ₁, x ₂](x - x ₀)(x - x ₁) + …

…+ [ x ₀, x ₁, …, x _n] (x - x ₀)(x - x ₁)…(x – x _n-1). (3.20)

Погрешность этой формулы определяется, как обычно, выражением (3.17):

| R (x)| = | f (x) – P (x)| = (x - x ₀)(x - x ₁)…(x - x _n-1)|,

где ξ – промежуточное значение между точками х₀, х₁, х₂,..., х_n и х _.

Пример. Составить интерполяционный полином для функции y = f (x), заданной табл. 3.12.

Таблица 3.12

x		2,5069	5,0154	7,5270
y	0,3989423	0,3988169	0,3984408	0,3978138

С помощью этого полинома найти f (3,7608)

Решение. Строим табл. 3.13 разделенных разностей функции y = f (x)

Таблица 3.13

x	y	1-й порядок	2-й порядок	3-й порядок
2,5069 5,0154 7,5270	0,3989423 0,3988169 0,3984408 0,3978138	-500 -1499 -2496	-199 -199

Используя формулу (3.20), находим:

y = 0,3989423 – 0,0000500 х – 0,0000199 х (х – 2,5069).

Отсюда получаем

y (3,7608) = 0,3989423 – 0,00005·3,7608 – 0,000019·3,7608

(3,7608 – 2,5089) = 0,3986604.