Эмпирические формулы

Из выше изложенного материала ясно, что любую функцию можно с достаточной степенью точности заменить интерполяционным многочленом. Однако, чтобы добиться достаточно хорошего совпадения, может потребоваться использование многочлена сравнительно высокой степени. Такой многочлен будет неудобен в обращении ввиду его громоздкости, коэффициенты такого многочлена могут и не иметь физического смысла.

Поэтому при проведении натурных экспериментальных исследований или вычислительных экспериментов часто используют другие подходы при установлении неизвестной функциональной зависимости между значениями переменных x и y. Такие зависимости принято называть эмпирическими формулами. Они, как правило, имеют более простой вид, позволяют производить интерполирование и применять к экспериментальным данным методы математического анализа.

Итак, пусть в результате ряда измерений величин x и y получена таблица их значений.

x			…
y			…

Если аналитическое выражение функции f (x) неизвестно или весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти эмпирическую формулу

,

(4.1)

значения которой при возможно мало отличалось бы от опытных данных (i =1,2,…, n). В такой постановке наша задача весьма неопределенна. Поэтому обычно указывают достаточно узкий класс функций K (например, линейных, степенных, показательных и т. п.), которому должна принадлежать искомая функция f (x). Дело, таким образом, сведется к нахождению лишь наилучших значений параметров этой функции.

Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой Г вида (1) из некоторого класса К, «возможно ближе» примыкающей к системе точек (i = 1,2,…,n), как показано на рисунке 1.

Рис.1

Заметим, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполяции. При интерполировании отыскивается функция из данного класса функций (например, полиномов заданной степени), значения которой в заданных точках совпадали бы с табличными значениями (i = 1,2,…, n). При нахождении эмпирической формулы не требуется, чтобы значения совпадали с . Достаточно, чтобы разность была мала в известном смысле в данной области.

Построение эмпирической формулы слагается из двух этапов.

1) Выяснение общего вида этой формулы;

2) Определение наилучших ее параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то предпочтение отдается простым формулам. Нельзя указать общего метода для нахождения наилучшего типа формулы, соответствующей опытным данным.

Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта и искусства экспериментатора (составителя формулы, – составитель и экспериментатор не всегда могут быть одним и тем же лицом).

В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В других случаях удается подобрать такую формулу, сравнивая кривую, построенную по данным наблюдения, с образцами известных кривых, построенных в декартовых системах координат или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т. д.). При определенном навыке по положению точек, определяющих некоторую гладкую кривую, можно примерно угадать общий вид зависимости.

Что касается определения наилучших значений параметров, входящих в эмпирическую формулу, то эта задача былее легкая и решается регулярными методами.

При построении эмпирической формулы можно предположить, что исходные данные положительны. Действительно, если бы, например, все (или все ), то достаточно рассмотреть таблицу значений или . При и достаточно построить эмпирическую формулу для таблицы .

В общем случае, когда знаки значений и меняется, то всегда можно подобрать положительные числа m и n такие, что

, .

Отсюда получаем, что решение поставленной задачи сводится к нахождению эмпирической формулы для системы положительных значений .