Постановка задачи идентификации

Задан объект, в процессе нормального функционирования которого одновременно могут быть измерены его входная x(t) и выходная y(t) функции (в общем случае это – случайные функции). По результатам измерений x(t) и y(t) необходимо построить модель заданного объекта, то есть найти оператор, ставящий в соответствие выходную y(t) и входную x(t) функции. Точнее при идентификации ставится задача определения не самого оператора модели, а его приближенного значения, его оценки. То есть, строим оператор модели, который в определенном смысле близок к оператору объекта.

Пусть характеристику объекта представляет оператор А⁰, который ставит в соответствие произвольному входному сигналу x(t)выходной сигнал y(t):

y(t)=A⁰{x(t)}.

Задача идентификации заключается в определении некоторой оценки А, которая используется в качестве приближения оператора А⁰, то есть

y_м(t) = A{x(t)}

A⁰ – характеристика объекта, A – характеристика модели.

Говорить о соответствии между моделью и объектом можно только в том случае, если оценка оператора А близка в некотором смысле его истинному значению. "Близость" весьма относительна, так как операторы А и А⁰ могут иметь разную структуру, могут быть сформулированы на разных языках, иметь различное число входов. Поэтому близость операторов оценить трудно, а то и невозможно, так как оператор А⁰ неизвестен. В связи с этим естественно оценить близость операторов по их реакции на одно и то же входное воздействие x(t), то есть по выходам y(t) и y_м(t).

Рисунок 11.3 - Схема процедуры идентификации

В общем случае вводится функция ρ(y,y_м), которая зависит от y, y_м и не зависит от А, и называется функцией потерь или функцией невязки (несоответствия). Эта функция обладает следующими свойствами:

1) ρ(y,y_м)>=0 для любых y,y_м; 2) ρ(y,y_м)= 0 тогда и только тогда, когда y=y_м;

3) ρ(y,y_м) – непрерывна и выпукла вниз, то есть эта функция всегда лежит не выше отрезка прямой, соединяющей две любые точки y,y_м.

Если мы хотим, чтобы y,y_м были близки на всем интервале наблюдения, а не только в каждой точке, то должны ввести единую меру близости на всем интервале. Такой мерой может быть следующий функционал:

. (11.1)

Если по физическому смыслу задачи важность информации в различные моменты времени неодинакова, то целесообразно ввести функцию веса h(t)>0

с естественным нормированием

(11.2)

и, тогда

(11.3)

Выбор функции h(t) определяется ценностью информации.

Для дискретного случая функционал Q записывается таким образом:

, (11.4)

i= 1

где h_i >0 (i=1,…,N, ∑ h_i =N) – вес информации в момент i.

Функционал Q называется невязкой, этот функционал зависит от А. Таким образом, степень невязки (степень несоответствия) операторов модели и объекта можно выразить в виде функционала (3) или (4), зависящих явно от оператора модели А. Естественно процесс идентификации строить так, чтобы минимизировать невязку, то есть решать задачу минимизации функционала Q по операторуА:

.

Этот функционал минимизируем, варьируя оператором А не произвольно, а в некотором определенном классе операторов Ω.Результатом является оператор А^* (не обязательно единственный), обладающий свойством

, (11.5)

то есть невязка на этом операторе минимальна. Использование процедуры минимизации для решения задачи идентификации является важным обстоятельством.

Критерийкачества идентификации представляет собой средние потери. Чем меньше средние потери, тем выше качество идентификации. Улучшение качества идентификации осуществляется надлежащим выбором структуры настраиваемой модели и изменением ее параметров. Изменение осуществляется алгоритмом идентификации. Алгоритм идентификации определяется функцией потерь и структурой настраиваемой модели. По наблюдениям входного воздействия и выходных величин объекта и настраиваемой модели алгоритм идентификации изменяет параметры последней так, чтобы средние потери достигали с ростом n минимума. Эти условия соответствуют идентификации в режиме нормальной работы объекта.

Трудности идентификации. Первая заключается в определении класса оператора Ω, в котором ищется решение задачи идентификации. Преодоление этой трудности едва ли в настоящее время возможно формальным образом. Решение о классе оператора Ω пока может принимать только человек. При этом следует учесть следующее: структуру объекта как объекта управления; механизм работы объекта (влияющий на цели управления); цель управления; алгоритм управления. Последние два пункта связывают класс Ω с будущим управлением, для которого и идентифицируется объект.

Вторая трудность заключается в решении задачи минимизации с наименьшим ущербом для потребителя. Алгоритм идентификации должен решать поставленную задачу в определенном смысле наилучшим образом. То есть должен быть определен критерий эффективности процесса идентификации.