Принятие решений в условиях неопределенности

Рассмотрим ситуацию, когда ЛПР выбирает одну из n возможных альтернатив. Если при этом нет абсолютно никакой информации о вероятностях того или иного исхода для каждой альтернативы, то такая ситуация описывается моделью принятия решений в условиях неопределенности, которая еще называется «игрой с природой». Существует несколько критериев, позволяющих выбрать оптимальное решение в ситуации полной неопределенности. Сначала рассмотрим случай, когда показатель привлекательности (критерий) максимизируется – «чем больше, чем лучше». Рассмотрим на примере способы решения такой задачи.

ПРИМЕР 1. Директор финансовой компании проводит рискованную финансовую операцию. Страховая компания предлагает застраховать сделку и предлагает 4 варианта страховки: Компенсация ущерба для каждого варианта зависит от того, какой из возможных страховых случаев произошел. Выделяют 5 видов страховых случаев: Компенсации (тыс. у. е.) для каждого вида страховки при каждом страховом случае составляют матрицу выигрышей вида:

Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте доверия .

Вводим данные в электронную таблицу и готовим подписи в ячейках для дальнейшего расчета согласно рисунку:

Вычисляем функции полезности для критерия Лапласа. Для этого ставим курсор в ячейку G2 и вводим формулу, усредняющую значения показателей привлекательности по первой альтернативе. Для этого вызываем мастер функций, нажимая на кнопку fx и выбираем в категории «Статистические» функцию «СРЗНАЧ», в качестве аргумента функции указываем ячейки B2:F2, обводя их курсором. Нажимаем ОК, видим результат 40,2. Автозаполняем ячейки G2-G5, перетаскивая нижний правый уголок ячейки G2. Видно, что наибольшая функция полезности 40,4 для альтернативы А3. Вводим в G6: «А3».

Для критерия Вальда вычисляем наименьшие показатели привлекательности для каждой альтернативы. Для этого вводим в Н2 функцию МИН с аргументами B2:F2: «=МИН(B2:F2)» (кавычки не вводить!). Автозаполняем на Н2-Н5. Выбираем альтернативу, где результат наибольший. Это значение 37 для альтернативы А2, вводим в Н6: «А2».

Для критерия максимального оптимизма находим максимальные выигрыши для каждой альтернативы. Вводим в I2 формулу «=МАКС(B2:F2)», автозаполняем на I2-I5. Выбираем альтернативу с наибольшим показателем, это А4, вводим в I6: «А4».

Для критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков. Для этого ставим курсор в ячейку В8 и вводим формулу «=МАКС(B$2:B$5)-B2», автозаполняем результат на ячейки В8-F11. Далее находим максимальный риск для каждой альтернативы. Для этого ставим курсор в ячейку J2 и вводим «=МАКС(B8:F8)», автозаполняем результат на J2-J5. Выбираем альтернативу с минимальным риском, это А3. Вводим в J6: «А3».

Для критерия Гурвица нужно наибольшее значение каждой альтернативы умножить на a (по условию ), наименьшее на (1-a) и результаты сложить. Вводим в К2 формулу:

=МАКС(B2:F2)*0,4+МИН(B2:F2)*0,6

и автозаполняем результат на К2-К5. Выбираем альтернативу с наибольшей функцией полезности. Это А3, вводим К6: «А3». Задача решена.

Рассмотрим теперь метод решения задачи в случае минимизации критерия – «чем меньше, тем лучше».

ПРИМЕР 2. Фермер, имея в аренде большие площади под посев кукурузы, заметил, что влажности почвы в сезон созревания кукурузы недостаточно, чтобы получить максимальный урожай. Эксперты советовали фермеру провести дренажные каналы в период конца весны – начала лета, что должно значительно повысить урожай. Были предложены 5 проектов дренажных каналов: , затраты на которые зависят от погодных условий в период весна – лето. Возможны варианты: S ₁ – дождливая весна и дождливое лето; S ₂ – дождливая весна и сухое лето; S ₃ – сухая весна и дождливое лето; S ₄ – сухая весна и сухое лето. Матрица затрат имеет вид:

Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте доверия .

Вводим данные в электронную таблицу и готовим подписи в ячейках для дальнейшего расчета согласно рисунку:

Вычисляем функции полезности для критерия Лапласа. Для этого ставим курсор в ячейку F2 и вводим формулу: «=СРЗНАЧ(В2:Е2)», автозаполняем на В2-Е6. Наилучшей в данном случае считается альтернатива с минимальной функцией полезности, это А2. Вводим в F7: «А2».

Для критерия Вальда вычисляем наибольшие показатели привлекательности для каждой альтернативы. Для этого вводим в G2 функцию «=МАКС(B2:E2)», автозаполняем на G2-G6. Выбираем альтернативу, где результат наименьший, вводим в G7: «А2».

Для критерия максимального оптимизма находим минимальные затраты для каждой альтернативы. Вводим в Н2 формулу «=МИН(B2:Е2)», автозаполняем на Н2-Н6. Выбираем альтернативу с наименьшим показателем, вводим в Н7: «А1».

Для критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков. Для этого ставим курсор в ячейку В9 и вводим формулу «=B2-МИН(B$2:B$6)», автозаполняем результат на ячейки В9-Е13. Далее находим максимальный риск для каждой альтернативы. Для этого ставим курсор в ячейку I2 и вводим «=МАКС(B9:E9)», автозаполняем результат на I2-I6. Выбираем альтернативу с минимальным риском, таких альтернатив две, это А2 и А4. Вводим в I7: «А2, А4».

Для критерия Гурвица нужно наименьшее значение каждой альтернативы умножить на a (по условию ), наибольшее на (1-a) и результаты сложить. Вводим в J2 формулу:

= МИН(B2:E2) *0,7+МАКС(B2:E2)*0,3

и автозаполняем результат на J2-J6. Выбираем альтернативу с наименьшей функцией полезности. Это А1, вводим J7: «А1». Задача решена.

Задание № 1. Директор торговой фирмы, продающей телевизоры, решил открыть представительство в областном центре. У него имеются альтернативы либо создавать собственный магазин в отдельном помещении, либо организовывать сотрудничество с местными торговыми центрами. Всего можно выделить 5 альтернатив решения: Успех торговой фирмы зависит от того, как сложится ситуация на рынке предоставляемых услуг. Эксперты выделяют 4 возможных варианта развития ситуации Прибыль фирмы для каждой альтернативы при каждой ситуации представлена матрицей выигрышей (млн. р./год).

Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте доверия .

Задание № 2. Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство (млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды . Выбрать оптимальный проект для строительства используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при . Матрица затрат имеет вид:

Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте доверия .