Выборочные функции

Случайный процесс может быть определен математически как функция двух переменных t и w, области изменения которых приведены в § 1.1. Причем, с одной стороны, x(t, w) при каждом фиксированном t является измеримой функцией элементарного события w, т.е. случайной величиной.

С другой стороны, x(t, w) для каждого фиксированного элементарного события w в данном вероятностном пространстве становится функцией от t, определенной для всех t Î Т. Иначе говоря, каждому w или каждому возможному исходу случайного эксперимента соответствует некоторая однозначно определенная функция от t. Эта функция x(t) = x(t, w) с фиксированным w описывает эволюцию (во времени, в пространстве или в каком-нибудь ином смысле) меняющейся системы в случае, когда элементарное событие w явилось результатом рассматриваемого случайного эксперимента. В соответствии с этим каждая функция x(t) называется реализацией, или траекторией, или выборочной функцией случайного процесса.

На рис. 1.1 показано по одной реализации четырех различных случайных процессов [3].

Рис. 1.1. Наблюдаемые значения случайных процессов: а – замирание интенсивности (l) радиосигналов; б – пульсация температуры (Т) воздуха в точке атмосферы; в – пульсация разности скоростей (D V) ветра в двух точках атмосферы, находящихся на расстоянии 8 см друг от друга; г – изменение диаметра (D d) ткацкой нити вдоль длины нити

Реализация x(t) может рассматриваться как «точка» в пространстве x всех конечных вещественных функций x (t) переменного t Î T. Пространство x называется пространством выборочных функций или просто выборочным пространством случайного процесса.

Случайный процесс x(t, w) определяет функцию, переводящую каждую точку w вероятностного пространства (W, F, Р) в некоторую точку пространства выборочных функций x. Эта функция индуцирует некоторое распределение вероятности в x. Множество А ¹ из x является множеством функций от t. Отсюда, каждое множество функций А ¹ имеет прообразом некоторое w-множество А, состоящее из всех точек w, таких, что соответствующие функции x(t) = x(t, w) принадлежат А ¹. Индуцированная вероятностная мера Р ¹ в x определяется для всех А ¹ Î F соотношением Р ¹(А ¹) = Р (А). Тройка (x, F ¹, Р ¹) представляет собой новое вероятностное пространство, соответствующее индуцированному распределению.

На вероятностном языке Р ¹(А ¹) означает вероятность того, что реализация x(t) случайного процесса будет принадлежать множеству А ¹ пространства всех выборочных функций x. Поэтому x(t) можно рассматривать как случайную функцию, принимающую различные «значения» в x в соответствии с вероятностной мерой Р ¹(А ¹).

При изучении важных классов случайных процессов, как и в различных приложениях, нас будут интересовать свойства распределений вероятности в выборочном пространстве, индуцированных рассматриваемыми процессами. Например, потребуется находить вероятность того, что реализации данного процесса обладают тем или иным свойством, т.е. принадлежат некоторому определенному множеству А ¹ функционального пространства Х.

В связи с этим возникает вопрос: в какой степени распределение вероятностей в выборочном пространстве x, индуцированное данным процессом, определяется семейством конечномерных распределений этого процесса? Кроме того, если на множестве значений параметра T задано некоторое семейство конечномерных распределений, то при каких условиях существует случайный процесс, имеющий эти распределения?

Ответ на эти вопросы содержится в теореме Колмогорова, которая будет представлена в следующем разделе.