double arrow

Вещественный параметр. Дискретный случай


На практике часто сталкиваются со случаем, когда наблюдения за случайно меняющейся системой производятся через равные промежутки времени. Взяв в качестве единицы времени промежуток между двумя последовательными измерениями, получим последовательность случайных величин, т.е. случайный процесс с целочисленным параметром.

Изменим прежние обозначения: параметр будем обозначать n вместо t, а случайную величину, наблюдаемую в момент n, будем обозначать xn или xn(w) вместо x(t, w). Множество Т значений параметра будет состоять из всех рассматриваемых n; чаще всего Т будет множеством всех целых чисел n = ..., -1, 0, 1, ... или множеством всех положительных чисел n1 = = 1, 2, ...

Последовательность случайных величин xn = xn(w), n = 1, 2, ..., переводит каждую фиксированную точку w основного вероятностного пространства в некоторую точку x = (x1, x2, ...) бесконечномерного пространства R¥. Иными словами, выборочным пространством Х является пространство R¥, состоящее из всех точек х = (х1, х2, ...) с бесконечным числом координат. Интервал в R¥ представляет собой множество точек х, удовлетворяющих конечному числу неравенств вида aj < xj < bj с теми же замечаниями о знаках неравенств, что и в общем случае (§ 1.3).

Предположим, что дана последовательность случайных величин xn= = xn(w), n = 1, 2, ... . Тогда любое конечное множество величин xn, например , имеет совместное распределение вероятностей с функцией распределения

В силу первой части теоремы Колмогорова семейство всех функций F однозначно определяет вероятность того, что точка x = (x1, ...) принадлежит множеству В < R¥ для любого борелевского В.

Пусть теперь дано лишь семейство {F} функций распределения F( ) с любыми k и ni, удовлетворяющее условиям симметрии и согласованности. Вторая часть теоремы Колмогорова показывает, что это семейство однозначно определяет распределение вероятностей в классе борелевских множеств в R¥.

Таким образом, в обоих случаях в R¥ может быть построено некоторое распределение вероятностей, соответствующее бесконечной случайной последовательности x = (x1, x2, ...). Вероятность того, что эта последовательность как точка в R¥ будет принадлежать данному множеству А, однозначно определяется для любого борелевского А в R¥.

Оказывается, что все множества в R¥, которые могут быть определены с помощью обычных аналитических операций над xn, являются борелевскими. Это очень важный факт; он означает, что в случае дискретных последовательностей случайных величин все события, с которыми сталкиваются, имеют вполне определенные вероятности. В непрерывном случае ситуация далеко не так проста.

Пример 1.1.Рассмотрим три простых примера борелевских множеств в R¥, определенных с помощью простых операций над последовательностью случайных величин x1, x2, ... Каждый из этих примеров существенен для различных приложений.

Пусть h – некоторое число. Обозначим А, В и С множества в R¥, определенные следующими соотношениями:

А: supxn £ h,

В: limxn = h,

С: limxn – существует и конечен,

где n пробегает множество положительных чисел. Покажем, что каждое из этих множеств может быть получено из интервалов в R¥ с помощью счетного числа операций, так что все они являются борелевскими. Для любых положительных целых чисел m, n и q обозначим через In, Kn,q и Lm,n,q, интервалы в R¥, определенные неравенствами:

In: xn £ h,

Kn,q: ú xnhú < ,

Lm,n,q: ú xm – xnú < .

Множества А, В и С могут быть построены из этих интервалов с помощью пересечений и объединений следующим образом:

,

,

.

Отсюда следует, что множества А, В, С являются борелевскими.



Сейчас читают про: