Продольное растяжение (или одностороннее сжатие)

Если к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль его оси силы и (f₁ = f₂ =f), действие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня l получит положительное (при растяжении), либо отрицательное (при сжатии) приращение Δl (рис. 44). При этом каждый произвольно выбранный элемент стержня δl получает приращение Δ(δl), пропорциональное его длине, так что для всех элементов стержня отношение оказывается одним ч тем же. Естественно поэтому в качестве величины, характеризующей деформацию стержня, взять относительное изменение его длины

(108)

Как следует из его определения, относительное удлинение ε является безразмерной величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия — отрицательно.

Опыт дает, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

(109)

Коэффициент пропорциональности αназывается коэффициентом упругости. Он зависит только от свойств материала стержня.

Рис. 44.

Продольное растяжение (сжатие)

Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на которую сила действует, называется напряжением. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела – весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется тангенциальным. Нормальное напряжение принято обозначать буквой σ, тангенциальное — буквой τ.

Введя в рассмотрение нормальное напряжение

(110)

уравнение (108) можно написать следующим образом:

ε = ασ. (111)

Таким образом, относительное удлинение оказывается пропорциональным нормальному напряжению. Из (111) вытекает, что коэффициент упругости αчисленно равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.

Наряду с коэффициентом упругости α для характеристики упругих свойств материала пользуются обратной ему величиной Е= 1/α, которая называется модулем Юнга.

Заменяя в (111) α через E, получим:

(112)

откуда следует, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице (т. е. приращение длины Δl было бы равно первоначальной длине l), если бы столь большие упругие деформации были возможны (на самом деле, при значительно меньших напряжениях происходит разрыв стержня, еще раньше достигается предел упругости).

С учетом (108) и (112) соотношение (110) может быть приведено к следующему виду:

(113)

где k — постоянный для данного стержня коэффициент. Согласно (113) удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Соотношение (113) выражает закон Гука для данной деформации. Этот закон выполняется только до тех пор, пока не достигается предел упругости.

Изменение длины стержня при деформации сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров стержня d (рис. 44). Это изменение принято характеризовать относительным поперечным расширением или сжатием:

(114)

Очевидно, что ε и ε' всегда имеют разные знаки: при растяжении Δl положительно, а Δd отрицательно, при сжатии Δl отрицательно, a Δd положительно. Опыт дает, что ε' пропорционально ε:

ε' = με, (115)

где μ – положительный коэффициент, зависящий только от свойств материала. Его называют коэффициентом поперечного сжатия, или коэффициентом Пуассона.