Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию двух переменных . Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например, , т.е. , тогда функция будет функцией одной переменной . Придадим этой переменной в точке приращение , тогда функция примет приращение

которое называется частным приращением функции по в точке . Зафиксируем теперь аргумент , т.е. , тогда функция будет функцией одной переменной . Придадим этой переменной в точке приращение ∆у, тогда функция примет приращение

которое называется частным приращением функции по в точке .

Определение 1. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю: .

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю: .

Из определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами вычисления производной функции одной переменной.

Пример 1. Найти частные производные

а) ,

б) .

Решение. а) Рассматривая как постоянную величину, и учитывая, что производная от постоянной равна нулю, получим:

Рассматривая как постоянную, найдем:

б) ,

Геометрический смысл частных производных: частная производная или есть тангенс угла наклона касательной в точке М к кривой, получающейся в сечении поверхности плоскостью (или ).

Физический смысл частных производных: частная производная или

это скорость изменения функции в точке М в направлении оси Ох (или Оу).

Пусть функция непрерывная и имеет непрерывные частные производные первого порядка , , которые являются также функциями двух переменных и . Частные производные от производных первого порядка называются частными производными второго порядка от функции . Их четыре:

Последние две частные производные второго порядка называются смешанными. Одна из них получается дифференцированием функции сначала по , затем по , а другая наоборот, - сначала по , затем по .

Теорема. Если смешанные частные производные второго порядка функции непрерывны, то они равны между собой .

Пример 2. Найти частные производные второго порядка функций:

а) ; б)

Решение: а) Найдем сначала частные производные первого порядка:

Дифференцируя производную сначала по , затем по , получим:

;

Дифференцируя производную сначала по , затем по , получим:

;

Заметим, что: .

б) Найдем производные первого порядка: .

Дифференцируя производную сначала по , затем по , получим:

;

Заметим также, что и в этом случае: т.е. результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Вторые частные производные обозначаются также символами: .

Рассмотрим функцию двух переменных . Придадим аргументам и приращения и . Тогда функция получит полное приращение , равное: .

Функция называется дифференцируемой в точке , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде , где А, В - величины, не зависящие от и , а бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем при . Дифференциалом функции в точке называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно и , т.е.

Дифференциалы независимых переменных и равны их приращениям: и . Можно доказать, что . Следовательно, дифференциал функции вычисляется по формуле:

(3)

Таким образом, если функция имеет непрерывные частные производные в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

При малых приращениях аргументов и полное приращение функции с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем можно заменить ее дифференциалом , т.е. . Отсюда или с учётом равенства (3):

Полагая , , , , получим

(4)

Формула (4) позволяет приближенно вычислить значения функции в точке , близкой к точке , если известны значение функции и ее частных производных в точке .

ПримерЗ. Вычислить приближенное .

Решение: Рассмотрим функцию и вычислим её значение в точке , близкой к точке . Для этого найдём значения функции и её частных производных в точке и воспользуемся формулой (4).