Кодовое расстояние и корректирующая способность кода

Под корректирующей способностью кода понимается его свойство обнаруживать и/или исправлять ошибку максимальной кратности q. Корректирующая способность кода связана с его кодовым расстоянием.

Расстоянием d_ij между кодами (кодовыми комбинациями) i и j называется число различных разрядов в кодовых комбинациях i и j. Например, если есть коды 01 и 10, расстояние между ними равно 2: они различаются в двух разрядах.

Кодовым расстоянием d для кода, содержащего m кодовых комбинаций, является минимальное расстояние между всеми парами кодовых комбинаций, т.е.

где i≠j, i=1, m; j=1, m.

Пусть есть кодовая таблица:

Исходные символы	Двоичные коды
a
b
c
d

Тогда расстояния между кодовыми комбинациями имеют значения:

d_ab = 1; d_ad = 2; d_bd = 1; d_ac = 1; d_bc = 2; d_cd = 1.

Отсюда следует:

d = min{1, 2, 1, 1, 2, 1} = 1.

Это означает, что всякая ошибка кратности 1 (и более) переводит исходную кодовую комбинацию в другую кодовую комбинацию, которая также принадлежит коду.

Увеличить кодовое расстояние можно, введя в кодовые комбинации дополнительный разряд (или разряды). Тогда исходные разряды называют информационными, а дополнительный (или дополнительные) – проверочным (проверочными).

Значение одного проверочного разряда в простейшем случае определяется как результат суммирования по модулю 2 информационных разрядов.

Для кодов из приведенной выше таблицы введем дополнительный разряд и сформируем его значение. Результат показан ниже:

Исходные символы	Информационные разряды кода	Проверочный разряд кода	Результирующий код
a
b
c
d

Таким образом, полученный код является трехразрядным.

Определим кодовое расстояние полученного кода. Для этого вначале выясним расстояния между кодовыми комбинациями:

d_ab = 2; d_ad = 2; d_bd = 2; d_ac = 2; d_bc = 2; d_cd = 2.

Тогда d = min{2, 2, 2, 2, 2, 2} = 2.

Пусть передается кодовая комбинация, соответствующая символу c, – 101. Пусть на нее накладывается ошибка кратности 1. Возможные результаты искажения приведены в таблице:

Передаваемая кодовая комбинация	Ошибка	Принимаемая кодовая комбинация	Результат декодирования
			Невозможно декодировать
			То же
			"-"

В результате данной ошибки получаемые кодовые комбинации невозможно декодировать, так как они отсутствуют в результирующем коде (см. таблицу выше).

Обнаружение ошибки

Корректирующая способность кода основана также на понятиях разрешенных и запрещенных кодовых комбинаций.

Разрешенными кодовыми комбинациями называются те, которые присутствуют в исходной кодовой таблице. Например, если сформирован код

Исходные символы	Информационные разряды кода	Проверочный разряд кода	Результирующий код
a
b
c
d

то кодовые комбинации из графы Результирующий код являются разрешенными кодовыми комбинациями. Их количество равно числу исходных символов (m).

Запрещенные кодовые комбинации – это те, которые отсутствуют в исходной кодовой таблице. Их количество определяется по формуле: 2r – m, где r – общее число двоичных разрядов (информационные плюс проверочные) в коде.

Сформируем все разрешенные и запрещенные кодовые комбинации для кода из приведенной выше таблицы, при этом используем схему формирования кода Грея:


	a
		b
	d
		c

Здесь обозначения строк – значения графы Информационные разряды кода, обозначения столбцов – значения проверочных разрядов. Пустые ячейки означают запрещенные кодовые комбинации.

Как видно из последней таблицы, отстояние кодовых комбинаций для исходных символов a, b, c, d равно двум разрядам:

· символы, находящиеся в одном столбце (a и d, b и c), имеют одинаковый проверочный разряд, но находятся в несмежных строках, которые различаются двумя разрядами;

· символы, находящиеся в смежных строках (a и b, b и d, d и c), которые различаются одним разрядом, расположены попарно в разных столбцах, имеющих различное обозначение.

Поэтому при наличии ошибки кратности 1 кодовая комбинация переходит в соседнюю запрещенную.

Очевидно, коды, построенные по схеме рис. 4.3, не позволяют обнаружить ошибку кратности 2: в самом деле, при этом кодовая комбинация переходит в другую разрешенную кодовую комбинацию.

Существует связь между кодовым расстоянием d и минимальной кратностью ошибки q, которую код может обнаруживать:

d ≥ q + 1.

Пример 1. На базе кода из таблицы построить код, обнаруживающий ошибки кратности 2.

Для решения задачи воспользуемся схемой формирования кода Грея с некоторыми модификациями.

Поскольку код для обнаружения ошибки кратностью 1 построен, используем его для обозначения строк схемы, причем с каждой строкой свяжем символ, который соответствует данной кодовой комбинации: так с первой строкой свяжем символ a, со второй – b и т.д. Очевидно, кодовые комбинации в обозначении строк схемы различаются двумя разрядами.

Поскольку в ячейках этой схемы следует расположить символы, расстояние между кодовыми комбинациями которых должно быть не меньше 3, они должны быть расположены в соседних столбцах, чтобы обеспечивать различимость кодовых комбинаций еще как минимум в одном разряде (строки расположения символов обговорены выше).

С учетом сделанных замечаний схема имеет 4 столбца и 4 строки и представлена ниже:


a
	b
		d
			c

Таким образом, построен следующий код:

00000 → a, 01101 → b, 11011 → d, 10110 → c.

Определим кодовое расстояние d построенного кода. Поскольку dab = 3; dad = 4; dbd = 3; dac = 3; dbc = 4; dcd = 3, dmin = {3, 4, 3, 3, 4, 3} = 3.

Проверим, обнаруживает ли построенный код ошибку кратности 2. Для этого зададимся произвольной кодовой комбинацией, например, 01101 (символ b). Результат проверок приведен в таблице:

Передаваемая кодовая комбинация	Ошибка	Принимаемая кодовая комбинация	Результат декодирования
			Невозможно декодировать
			То же
			"-"
			"-"
			"-"
			"-"
			"-"
			"-"
			"-"
			"-"