Для 000 для 111

001 011

010 101

100 110.

Пусть передается кодовая комбинация 000 (символ a) и на нее накладывается ошибка кратности 1. В таблице показаны полученные кодовые комбинации и их декодирование:

Таким образом, построенный код позволяет исправлять ошибки кратности 1.

Пример 2. Построить помехозащитный код, исправляющий ошибку кратности 1, для передачи символов: a, b и c.

Вначале построим первичный код: a – 00; b – 01; c – 10.

Для решения поставленной задачи необходимо обеспечить d = 3. Для этого воспользуемся схемой формирования кода Грея:

Таким образом, построены коды:

a → 00000, b → 01101, c→ 10111.

Полученное кодовое расстояние d =min { d_ab, d_ac, d_bc } = min {3, 4, 3} = 3 обеспечивает исправление ошибки кратности q = 1.

Рассмотрим, как исправляются ошибки в данном случае. Все множество кодовых комбинаций пятиразрядного двоичного кода равно 2⁵ = 32. Из них три кодовые комбинации – разрешенные, остальные – запрещенные. Разобьем кодовые комбинации на три подмножества, в каждое из которых будут входить: одна разрешенная и те запрещенные, которые отстоят от разрешенной на расстояние в 1. Имеем:

Для 00000 для 01101 для 10111

00001 01100 10110

00010 01111 10101

00100 01001 10011

01000 00101 11111

10000 11101 00111

Очевидно, общее число кодовых комбинаций, включенных в построенные подмножества, равно 24. Оставшиеся 8 кодовых комбинаций являются следствием ошибки кратности больше 1 и в сформированные подмножества не включены.

Проверим, как выполняется исправление ошибки кратности 1. Пусть передается кодовая комбинация 01101 (символ b) и на нее накладывается ошибка кратности 1. В таблице показаны полученные кодовые комбинации и их декодирование:

Пусть на ту же кодовую комбинацию накладывается ошибка кратности 2. Результирующие кодовые комбинации либо невозможно декодировать, либо декодирование неверно:

В заключение отметим, что для обнаружения ошибки кратности q₁ и исправления ошибки кратности q₂ (q₁ ≥ q₂) минимальное кодовое расстояние должно удовлетворять следующему соотношению: d ≥ q₁ + q₂ + 1.