Вращательное движение. Моменты инерции, силы, импульса

Примеры решения задач

7. Сила с компонентами (2, -1, 4), H приложена к точке с координатами (–3, 2, 1), м. Найти:

а) момент силы относительно начала системы координат;

б) модуль момента силы M;

в) проекцию M_z момента силы на ось z.

Дано: , Н ,м

Решение По определению момент силы относительно начала системы координат – векторное произведение радиус-вектора и силы .

а) б) в)

Следотельно, = [ ] = = (yFz - zFy) +(zFx - xFz) + x y z +(xFy – yFx) = 10 +14 – 1,0 , Н∙м, (1)

z – компонента вектора и есть проекция M_z момента силы на ось z.

Следовательно, M_z = -1, Н×м. Модуль момента силы получится из выражения вышеприведенного: = , Н∙м.

Ответ: , Н×м; M = 17,2 Н×м; M_z = –1 Н×м.

8. Во сколько раз уменьшится момент инерции однородного сплошного диска оносительно оси, проходящей через его центр инерции (точка О) и перпендикулярной к плоскости диска, если сделать круглый дисковый вырез, как показано на рисунке.

Момент инерции – величина аддитивная. Поэтому момент инерции I₃ диска с вырезом относительно точки О равен разности момента инерции диска относительно точки О и момента инерции малого диска , соответствующего вырезанной части, также относительно точки О, т. е. . В задаче необходимо найти отношение . Обозначим массу диска через m, а радиус диска через R. Тогда масса вырезанной части , а радиус . Как известно, момент инерции диска относительно оси симметрии равен: . Для вычисления момента инерции используем теорему Штейнера:

,

где – момент инерции малого диска, соответствующего вырезанной части, относительно оси симметрии этого диска, походящей через точку О′. Окончательно . Таким образом, искомое отношение = 1,23 .

Ответ: момент инерции диска после сделанного выреза уменьшается в 1,2 раза.

9. Тонкий однородный обруч массой m = 2,0 кг и радиусом R = 1,0 м вращается вокруг оси симметрии, перпендикулярной к плоскости обруча, делая n ₀ = 120 об/мин. Под действием постоянной касательной к поверхности обруча силы F _т = 4,0 Н обруч тормозится и останавливается. Определить время торможения t _т и число оборотов N _т, которое сделает обруч от начала торможения до остановки.

Дано: m = 2,0 кг R = 1,0 м n 0 = 120 об/мин = 2 об/с F т = 4,0 Н	Решение Для вращающегося обруча, на который действует тормозящий момент сил , уравнение вращательного движения имеет вид (1) где I – момент инерции обруча, ε – угловое ускорение. Момент инерции тонкого однородного обруча I = mR ². Угловое ускорение постоянно, так как тормозящий момент сил не изменяется. Следотельно, угловая скорость ωсвязана с угловым ускорением формулой
а) t т –? б) N т –?

(2)

где ω₀ – начальная угловая скорость обруча. Знак «минус» в выражении (2) показывает, что вращение равнозамедленное. Число оборотов N связано с углом поворота обруча φ соотношением

. (3)

В конце времени торможения угловая скорость обруча равна нулю, и из формул (1) и (2) получим

с с.

Для числа оборотов N _т за время торможения из выражения (3) следует:

об.

Ответ: t _т = 6,3 с; N _т = 13 об.

10. Небольшое тело массой m = 200 г брошено по углом α= 60° к горизонту со скоростью = 10 м/с. Выразить зависимость момента импульса тела от времени в системе координат, изображенной на рисунке, относительно точки О.

Определить модуль изменения момента импульса для положения тела в точке наивысшего подъема О΄ и точке падения на землю А.

Дано: m = 200г α= 60° = 10 м/с	Решение Введем правовинтовую систему координат OXYZ, как показано на рисунке. Поскольку при движении тела на него действует только сила тяжести, то из уравнения моментов можно определить момент импульса
а) L (t) –? б) –?

где , в котором mg – сила тяжести, l – плечо силы относительно точки О. Знак (-) обусловлен тем, что момент силы в соответствии с правилом правого винта направлен в сторону противоположную оси z.

Плечо l найдем как l = , так как вдоль оси x силы не действуют и движение равномерное. Тогда момент импульса

. (1)

Время достижения телом точки наивысшего подъема определяется выражением с (так как ).

Время достижения телом точки А в два раза больше времени (как известно, время подъема равно времени спуска тела).

Окончательно производя необходимые вычисления, получим для (кг×м²)/с; для модуля изменения момента импульса из (*), учитывая, что в начальный момент времени (кг∙м²)/с.

Ответ: (кг∙м²)/с; (кг∙м²)/с.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.24. Сфера радиусом R = 2,0 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси симметрии, делая 30 об/мин. Внутри сферы находится шарик. Найти высоту h, соответствующую положению равновесия шарика. При какой наименьшей угловой скорости радиус вращения шарика будет 0,9 R? Шарик считать материальной точкой.

(h = 1,0 м;ω = 3,4 рад/с)

1.25. Тело участвует в двух вращательных движениях, происходящих со скоростями и (a = 1,0 рад/с³). Определить:

а) на какой угол j повернется тело за первые 3,0 с;

б) какой угол составляет ось вращения, вокруг которой происходит поворот, с осью Х.

(а) j = 20 рад, б) a = 63°)

1.26. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени t по закону , где а >0; b >0. Найти момент времени t, в который тело остановится, а также число оборотов N тела до остановки.

(; )

1.27. Материальная точка движется по окружности радиусом R со скоростью u = kt, где k >0. Найдите зависимость от времени модуля полного ускорения точки; постройте графики зависимости тангенциального и нормального ускорений от времени.

()

1.28. Определить полное ускорение W в момент времени t = 3,0 c точки, находящейся на ободе колеса радиусом R = 0,50 м, вращающегося согласно уравнению j = Аt + Вt ³, где А = 2,0 рад/с; В = 0,20 рад/c³. Изобразите графики нормального и полного ускорений W_n = f (t) и W = f (t) на интервале 0< t <3 с.

(W = 27 м/с²)

1.29. Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Через некоторый промежуток времени t после начала движения, угол между полным ускорением и радиусом окружности равен 45°. Чему равно угловое ускорение точки?

(e )

1.30. Материальная точка (частица) массой m брошена под углом a к горизонту с начальной скоростью . Траектория полета частицы лежит в плоскости Х, Y. Ось Z направлена "на нас".

Найти зависимость от времени:

а) момента силы , действующего на частицу;

б) момента импульса частицы относительно начала координат.

(а) ; б) ).

1.31. Две материальные точки массами m ₁ и m ₂ соединены жестким невесомым стрежнем длиной L. Найти положение центра масс системы Х _с и момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс.

(; )

1.32. Тело массой m = 0,10 кг брошено с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростью u₀ = 20 м/с. Найти модуль приращения момента импульса тела относительно точки бросания за первые t = 5 с.

( = 2,5 ∙10² кгм²/с)

1.33. Сила с компонентами (3, 4, 5) Н приложена к точке с координатами (4, 2, 3) (м). Найти:

а) момент силы относительно начала координат;

б) модуль вектора ;

в) проекцию на ось Z момента силы М_z.

( (Н×м), = 15 Н×м)

1.34. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластинки массой m, длиной а и шириной b относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через одну из вершин пластинки.

()

1.35. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра m ₁ = 12 кг. На цилиндр намотан шнур, к которому привязали гирю массой m ₂ = 1,0 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время движения гири?

(W = 1,4 м/с²; T = 8,4 Н)

1.36. На обод маховика диаметром D = 60 c м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2,0 кг. Определить момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3,0 с приобрел угловую скорость w = 9,0 рад/с.

(J = 1,8 кг×м²)

1.37. Тонкий обруч радиусом R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и положили (опустили) на горизонтальный стол. Через какое время t обруч остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен m? Сколько оборотов N сделает обруч до полной остановки?

(; )

1.38. С какой угловой скоростью должен вращаться сосуд в виде усеченного конуса, чтобы шарик, лежащий на его дне, выкатился из него? Диаметр верхнего основания равен d. Стенки сосуда наклонены к горизонту под углом a.

()

1.39. Из сплошного однородного цилиндра радиусом R сделали полый, удалив внутреннюю часть радиусом R /2 от оси симметрии. Во сколько раз изменится момент инерции тела относительно указанной оси?

()

1.40. Из сплошного однородного цилиндра сделали полый, удалив половину его массы. Как изменится момент инерции J цилиндра относительно его оси и во сколько раз? Как и во сколько раз изменится момент импульса указанных цилиндров, если они вращаются с одинаковой угловой скоростью?

()

1.41. В сплошном однородном диске радиусом R просверлили сквозное отверстие радиусом R /2 от оси симметрии. Как изменится момент инерции тела относительно указанной оси по отношению к первоначальному?

()

1.42. Два однородных цилиндра с одинаковыми высотами h и равными массами m вращаются относительно своих осей симметрии. Соотношение плотностей материалов цилиндров r₁ = (3/4)r₂. Сравнить вращающие моменты сил, если угловые ускорения цилиндров одинаковы, а моменты сил трения М _тр равны.

()

1.43. Грузик массой 5,0 г, привязанный к нити длиной l = 50 см, вращается вокруг вертикальной оси и описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол j образует нить с вертикалью, если частота вращения n = 1,0 c ^-1. Чему равен модуль проекции момента импульса на ось вращения?

(j = 60°; L = 5,9∙10^-2 (кг∙м²)/с)