Пусть имеются следующие данные о заработной плате рабочих сдельщиков:
Заработная плата, тыс. руб. | Число рабочих | Х x ¦ |
Х1 = 110 | f 1 = 2 | |
Х2 = 130 | f 2 = 6 | |
Х3 = 160 | f 3 = 16 | |
Х4 = 190 | f 4 = 12 | |
Х5 = 220 | f 5 = 14 | |
ИТОГО |
По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются по нескольку раз. Так варианта Х1 встречается в совокупности 2 раза, а варианта Х3 – 16 раз. Число одинаковых значений признака в рядах распределения называются частотой (или весом) и обозначается символом f.
Необходимо исчислить среднюю заработную плату одного рабочего ; среднюю заработанную плату одного рабочего , где А – заработная плата всех рабочих, N – число рабочих:
Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.
Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов.
Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукции за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала «от – до». Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы от 5 до 7 шт., и т.д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значение вариант, т.е. образовались закрытые интервалы.
Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, штук | Число рабочих, ¦ | Середина интервала, х | Хх ¦ |
3–5 | |||
5–7 | |||
7–9 | |||
9–11 | |||
11–13 | |||
ИТОГО |
Исчисление средней по сгруппированным данным проводиться по формуле средней арифметической взвешенной.
.
Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала. Так, для первой группы дискретная величина Х будет равна:
и т.д.
Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:
.
Итак, все рабочие произвели 750 штук изделий за смену, а каждый в среднем произвел по 7,5 штук.
Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами. Допустим, что имеются следующие данные о производстве продукции за смену.
Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, штук | Число рабочих |
до 5 | |
5 – 7 | |
7 – 9 | |
9 – 11 | |
свыше 11 | |
ИТОГО: |
В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.
Свойства средней арифметической значительно упрощает вычисления:
· если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака на какое-либо одно и то же число, то объем средней величины соответственно увеличится или уменьшится на это же число;
· если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака в какое-либо число раз, то объем средней величины соответственно увеличится или уменьшится в это же количество раз;
· от увеличения или уменьшения веса каждого варианта признака в какое-либо число раз величина средней не изменится. Применение данного свойства с практической точки зрения удобно, если необходимо проанализировать совокупность со значительным количеством элементов, а частота элементов выражена многозначными числами. Если частоты элементов равны между собой, то среднюю можно рассчитать как невзвешенную;
· как следствие предыдущего свойства можно сказать, что величина средней зависит не от абсолютных значений веса отдельных элементов, а от их доли в общей сумме весов, т.е. если не известны абсолютные выражения весов элементов, а известны пропорции между ними, то они могут использоваться для расчета средней;
· средняя арифметическая совокупности, состоящей из их постоянных величин, равна этой постоянной: х = х при х = const.
Ø средняя гармоническая (простая и взвешенная);
простая
Взвешенная, где w — значение сводного, объемного, выступающего как признак-вес показателя:
.