Пусть и зависимые события.
О. 4. Условной вероятностью события называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что событие уже произошло.
Обозначается или .
Условная вероятность события определяется аналогично.
Теорема 1. Если и независимые события, то их условные вероятности совпадают с обычными вероятностями, т. е.
,
.
Пример 1. В ящике находятся 10 красных шаров и 5 синих. Последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлеченный шар синий, если:
выборка осуществляется без возвращения;
выборка осуществляется с возвращением.
Решение:
Событие - ;
Событие - ;
В первом случае события и зависимые, а во втором не зависимые.
1) ;
2) .
Пусть даны два события и и требуется найти вероятность их совместного появления.
Теорема 2. Если и зависимые события, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т. е.
|
|
,
.
Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли, т. е.
.
Пример 2. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится синий шар, при втором – красный и при третьем – зеленый шар.
Решение: События зависимые.
Событие - ;
Событие - ;
Событие - ;
Теорема 3. Если события и независимые, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению их вероятностей, т. е.
.
Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких независимых событий равна произведению вероятностей данных событий, т. е.
Пример 3. В примере 2 выборка осуществляется с возвращением.
Решение. События независимые