Кристаллографические системы. Решетки Браве

Атомы, ионы и молекулы в кристалле располагаются закономерно, в определенном порядке. Если отметить расположение частиц кристаллического вещества точками и обозначить расстояния между ними линиями мы получим пространственную кристаллическую решетку. Это абстрактное геометрическое построение.

Во внешнем ограничении кристаллов можно различить грани, ребра и вершины. Гранями называются плоскости ограничения кристаллов. Линии, разделяющие грани, образуют ребра. Угловая точка, в которой пересекаются несколько граней, представляет вершину кристалла.

При благоприятных условиях притока вещества кристалл развивается в правильный многоугольник. Обычно кристаллы имеют искаженную форму, но двугранные углы между соответствующими гранями на различных кристаллах одного и того же вещества и одного строения всегда будут постоянными - это один из законов кристаллографии.

У идеально образованных кристаллов наблюдается симметрия, т.е. закономерное повторение граней, ребер и вершин.

Различают следующие элементы симметрии: плоскость, центр и ось симметрии (рис. 1.7).

Р

L

С

С

а)

б)

в)

Рисунок 1.7

Плоскостью симметрии называется воображаемая плоскость, которая делит кристалл на две равные зеркально отраженные части. Ее обозначают Р (рис.1.7а).

Ось симметрии - это воображаемая линия, при вращении вокруг которой на 360° кристалл несколько раз повторяет свое начальное положение в пространстве, при этом число повторов называется порядком оси симметрии. Обозначается Lⁿ, где n – порядок оси. Теория показывает, что в кристаллах могут существовать оси симметрии 2-го, 3-го, 4-го, 6-го порядков.

Центр симметрии - это воображаемая точка, расположенная внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие соответствующие точки на поверхности кристалла, обозначается С.

Было доказано, что в кристаллах могут существовать только 32 комбинации выше перечисленных элементов симметрии. Эти комбинации называются кристаллографическими классами. Классы объединяются в 7 сингоний или 7 систем. Для описания этих систем необходимо ввести еще некоторое понятие, характеризующее кристаллическую структуру.

Наименьший параллелепипед, перемещая который вдоль трех независимых направлений можно получить весь кристалл, называется элементарной ячейкой. Направления, определяемые ребрами элементарной ячейки, представляют собой кристаллографические оси. Длина элементарной ячейки вдоль одной из осей называется постоянной решетки.

Для того чтобы описать кристаллографическое расположение частиц, находящихся внутри данной кристаллической структуры, необходимо выбрать подходящую элементарную ячейку и провести оси координат параллельно ребрам ячейки (рисунок 1.8).

Если используется трехмерная система координат, она обычно изображается осями CUZ, угол между осями UZ обозначается a, осями CZ - b, осями CU - g.

Положительное направление осей принимается произвольно, один из углов ячейки выбирается в качестве начала координат.

За единицы измерения длин вдоль осей координат XYZ принимают соответствующие постоянные решетки a, b, c.

Z

X

a

b

c

Y

g

a

b

Рисунок 1.8

Соотношение между постоянными решетки, т.е. между длинами ребер элементарной ячейки и ее углами, лежат в основе деления кристаллов на упомянутые выше 7 сингоний (табл. 1.1, 1.2).

Таблица 1.1

Система	Характеристика
Кубическая	a=b=c a = g =b= 90°
Моноклинная	a¹b¹c a = g = 90° b ¹ 90°
Ромбическая	a¹b¹c a = g =b = 90°
Ромбоэдрическая	a=b=c a, g, b ¹ 90°
Тетрагональная	a=b¹c a = g =b= 90°
Гексагональная	a=b¹c a = b= 90° g=120°
Триклинная	a¹b¹c a ¹ g ¹ b ¹ 90°

Математически было доказано, что возможно только 14 различных типов простых решеток, которые впервые установил А. Браве. Структура любого кристалла может быть описана одной из решеток Браве. Гиперссылка 1.6

В трёхмерных решётках бывают гранецентрированная, объёмноцентрированная, базоцентрированная, примитивная и ромбоэдрическая решётки Браве.

Примитивная система трансляций состоит из множества векторов (a, b, c), во все остальные входят одна или несколько дополнительных трансляций.

Так, в объёмноцентрированную систему трансляций Браве входит четыре вектора: a, b, c, ½(a + b + c), в гранецентрированную — шесть: a, b, c, ½(a + b), ½(b + c), ½(a + c). Базоцентрированные системы трансляций содержат по четыре вектора: A - включает вектора a, b, c, ½(b + c), B — вектора a, b, c, ½(a + c), а C — вектора a, b, c, ½(a + b), центрируя одну из граней элементарного объёма.

В системе трансляций Браве дополнительные трансляции возникают только при выборе гексагональной элементарной ячейки, и в этом случае в систему трансляций R входят вектора a, b, c, ¹/₃(a + b + c), —¹/₃(a + b + c).

Система

Тип решетки

Примитив-ный

Базоцент-рирован-ный

Объемно-центри-рованный

Гране-центри-рованный

Таблица 1.2

Оптическая ось кристалла — направление в, кристалле вдоль которого не происходит двойного лучепреломления.

Двулучепреломление - явление разложения в анизотропных средах света на две плоскополяризованных составляющих, причём колебания электрических векторов в этих двух волнах взаимно перпендикулярны. Это происходит из-за особенностей внутренней структуры кристалла (специфической структуры кристаллической решётки, формы атомов или молекул его составляющих). Свет распространяется вдоль оптической оси иначе, чем в других направлениях. Так, если свет будет распространяться вдоль оптической оси одноосного кристалла (например, кальцит, кварц), то ничего необычного не произойдёт. Однако, если луч света будет не параллелен оптической оси, то при прохождении через кристалл он расщепится на два: обыкновенный и необыкновенный, которые будут взаимно перпендикулярно поляризованы.

Показатель преломления обыкновенного луча постоянен для любого направления в кристалле, а необыкновенного луча переменный и зависит от направления. В одноосном кристалле для направления, параллельного оптической оси, их показатели преломления равны. Явление двулучепреломления не наблюдается в кристаллах с кубической симметрией из-за их изотропности.