Колебания кристаллической решетки. Фононы

Между частицами твердого тела действуют силы притяжения и отталкивания. Грубая механическая модель представлена на рис 2.1.

Резиноый шнур – силы притяжения

Сжатая пружина – силы отталкивания

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

Частицы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, участвуя в тепловом движении, колеблются около положения равновесия. Амплитуда ~
0,1 Ǻ (5 – 7 % от расстояния между частицами). Колеблющаяся частица взаимодействует с соседями (рис.2.2). Колебания между частицами распространяются в виде волн. Полная остановка атомов с обращением их энергии в нуль, в силу законов квантовой механики невозможна, и они при Т = 0 К совершают «нулевые» колебания.

Всякое колебание можно разложить на два поперечных и одно продольное (нормальные колебания). Любое нормальное колебание можно представить в виде суммы синусоидальных колебаний (разложение в ряд Фурье). Таким образом, в кристалле установится система 3N (N – число частиц) продольных и поперечных синусоидальных волн. Они доходят до поверхности, отражаются от нее и, налагаясь на встречные волны, образуют систему стоячих волн (Гиперссылка 2.1). Механизм этих волн аналогичен механизму звуковых волн, поэтому их называют акустическими. Диапазон частот от (10²-10³) до 10¹³ Гц. Скорость распространения совпадает со скоростью распространения звука. Энергия распределяется между всеми видами волн, но большая часть приходится на короткие волны.

Сказанное выше можно пояснить также следующим образом. Решеточная теплоемкость твердого тела обусловлена тепловыми колебаниями атомов, амплитуда которых, определяющая внутреннюю энергию решетки, увеличивается с ростом температуры. Благодаря сильной связи между атомами тепловое возбуждение, возникшее в каком-либо месте решетки, передается от атома к атому в виде упругой волны, приводя их в коллективное движение, подобное распространению звуковых волн в твердом теле. Достигая поверхности тела, упругая волна отражается от нее. Наложение прямой и отраженной волн приводит к установлению в решетке стоячей волны с частотой w, которая называется нормальным колебанием. Всего в теле с N атомами можно возбудить 3 N нормальных колебаний с собственными дискретными частотами w_I, которые упрощенно удовлетворяют тому условию, что на поверхности тела должны располагаться узлы стоячей волны (в узлах амплитуда колебаний равна нулю), а между узлами укладываться целое число полуволн.

Энергия тепловых акустических волн квантована. Квант энергии тепловых колебаний решетки называется фононом (Гиперссылка 2.2). Его энергия и импульс равны

Е_Ф=ћω; Р_Ф=ћ /λ. (2.1)

Фононы – квазичастицы. Они не могут существовать в вакууме, т.е. нуждаются в вещественной среде. (В газах частицы одновременно являются элементами самого вещества, а также являются носителями движения. В твердом теле эти функции разделяются и функцию носителей движения выполняют квазичастицы – фононы). Почти все процессы, связанные с упругими колебаниями атомов в кристалле, можно рассматривать с точки зрения взаимодействия фононов. Фононы рассеиваются при встрече друг с другом и с дефектами решетки. Теория тепловых волн разработана голландским физиком Дебаем.

Дискретность (квантовый характер) дебаевских тепловых волн проявляется при температуре ниже характеристической температуры Дебая:

, (2.2)

где ω_Д – максимальная (характеристическая дебаевская) частота тепловых колебаний частиц, свойственная данному твердому телу, k- константа Больцмана.

Физическая сущность Θ в следующем: при температуре Дебая возбуждается весь спектр нормальных колебаний, включая и колебания с частотой ω_Д. Дальнейшее повышение температуры не может вызвать новых нормальных колебаний, и приводит только к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания, приводящего к увеличению их средней энергии. Θ зависит от величины связи между узлами решетки и является параметром каждого из твердых тел. Для большинства - это 300-800°К, но иногда выше (алмаз – около 2000°К).

Для определения распределения колебаний по частотам рассмотрим сначала случай линейной цепочки длиной L, состоящей из N атомов. Длины волн, которые могут возникать в ней (целое число полуволн) равны

λ_n=2L/n (n =1, 2, 3… N) (2.3)

Число колебаний z с длиной волны равной или большей λ_n равно n:

z=n=2L/ λ_n. (2.4)

В трехмерном кристалле объемом V (например, в кубе объемом L³) число колебаний z=(2L/ λ)³=8 V/ λ³.

Более точный расчет дает

z=4πV/ λ³. (2.5)

Так как λ=2πv/ω, то

. (2.6)

Дифференцируя (2.6), получим

(2.7)

Формула (2.7) выражает число нормальных колебаний в интервале частот от ω до ω+dω. Функция g(ω) определяет плотность заполнения спектрального участка dω нормальными колебаниями, т.е. частотный спектр этих колебаний:

(2.8)