Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

1 Признак сравнения.

Даны два знакоположительных ряда и . Пусть, начиная с некоторого n, может быть и с n= 1, выполняется , тогда:

а) если сходится, то сходится и ;

б) если расходится, то расходится и .

Следствие: если существует , конечное число, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Для использования этого признака удобно выбирать ряд, составленный из членов геометрической прогрессии , который сходится при и расходится при , а также обобщенный гармонический ряд , который сходится при и расходится при .

2 Признак Даламбера.

Пусть и существует . Тогда при q <1 ряд сходится, при q >1 – расходится, при q =1 – сомнительный случай (нужно исследовать с помощью других признаков).

3 Радикальный признак Коши.

Пусть и существует . Тогда при p <1 ряд сходится, при p >1 – расходится, при p =1 – сомнительный случай.

4 Интегральный признак Коши.

Дан знакоположительный ряд

(1)

Пусть – непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция, определенная при и такова, что члены ряда являются значениями функции при , т. е. , , …, ,…, тогда ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

План исследования знакоположительных рядов

1. Находим . Если , то ряд расходится, исследование закончено.

2. Если , применяем один (подходящий) из достаточных признаков сходимости.

3. Делаем вывод о сходимости ряда.

Примеры.

1)

Напоминаем, что

; 0!=1;

.

– ряд, расходящийся по признаку Даламбера.

2) – ряд сходится по радикальному признаку Коши.

3) сравним с – сходящимся (как обобщенный гармонический при k >1). Используем следствие из признака сравнения: – конечное, не равное нулю число, тогда ряды ведут себя одинаково, т. е. сходятся.