Степенные ряды

22 23 24 25 26 27 28

Степенным рядом называется ряд вида:

где – постоянные величины, коэффициенты ряда, число a – центр ряда.

При a =0 имеем

(1)

При степенной ряд (1) принимает вид

(2)

Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться.

Если ряд (2) сходится, то – точка сходимости степенного ряда (1). Если ряд (2) расходится, то – точка расходимости. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Для любого степенного ряда (1) существует интервал , внутри которого ряд сходится абсолютно, вне его расходится, а на границах может иметь различный характер сходимости.

– радиус интервала сходимости.

– интервал сходимости.

Если R =0, то точка x =0 – единственная точка сходимости.

Если R =¥, то ряд сходится на всей числовой оси.

Пример.

1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах.

1) x =–5, тогда степенной ряд примет вид

Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница:

– не выполнено первое условие признака Лейбница, тогда ряд

расходится, точка – точка расходимости.

2) x =5; – ряд расходится по следствию из необходимого признака, тогда x =5 – точка расходимости.

(-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда.

– интервал сходимости данного степенного ряда. Исследуем на границах:

1) , тогда степенной ряд примет вид:

– это знакочередующийся ряд. Проверим два условия:

1) ;

2) , тогда ряд сходится по признаку Лейбница, точка – есть точка сходимости первоначального степенного ряда, она входит в область сходимости.

2) . Сравним этот ряд с гармоническим , который, как известно, расходится.

– конечное число, тогда по следствию из признака сравнения ряды ведут себя одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому точка – точка расходимости начального степенного ряда.