Сложное высказывание будем назвать тождественно истинным или тавтологией, если оно принимает значение истины для всех наборов значений входящих в него простых высказываний.
Два сложных высказывания будем называть равносильными, если их значения совпадают при одних и тех же наборах значений входящих в них простых высказываний.
Доказательство приведенных ниже основных равносильностей алгебры высказываний выполняется при помощи составления таблиц истинности.
1. Закон тождества: ;
2. Закон непротиворечия: ;
3. Закон исключенного третьего: ;
4. Закон двойного отрицания: ;
5. Законы ассоциативности: ;
6. Законы коммутативности: ;
7. Законы дистрибутивности:
8. Законы поглощения:
9. Законы де Моргана:
10. Связь конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания: ;
11. :
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. Модусы (разновидности схемы утверждений): -утверждающий модус;
17. - отрицающий модус;
18. Отрицающе-утверждающий модус: ;
19. Законы транзитивности:
20. Законы контрапозиции:
21.
22.
23.
24.
|
|
25.
26. Законы косвенного доказательства:
27. Законы Клавия:
В качестве примера докажем, что, например, формулы и являются тождественно истинными (тавтологиями), построив для их левых и правых частей таблицы истинности и используя табличные определения основных логических операций
1.
В четвертом и седьмом столбцах полученной таблицы содержаться истинностные значения, соответствующие левой и правой частям рассматриваемой формулы, и принимаемые этими выражениями значения одинаковы для всех наборов простых переменных, входящих в состав сложного высказывания. Значит, данная формула является тавтологией.
2.
В третьем и пятом столбцах полученной таблицы содержатся истинностные значения, соответствующие левой и правой частям рассматриваемой формулы, и принимаемые этими выражениями значения одинаковы для всех наборов простых переменных, входящих в состав сложного высказывания. Значит, данная формула также является тавтологией.
Пример: