1) Математическое ожидание равно среднему арифметическому из всех значений: , =(1+1+2+3+3+3)/6=13/6»2,2167.
2) Мода – это наивероятнейшее значение или вершина на графике распределения, оно равно x mod=3 (встречается чаще других – 3 раза). Другая мода – изолированная вершина на графике равна x mod=1.
3) Медиана – это такое воображаемое или реальное значение, которое делит ранжированный ряд на две равные части. Наш ранжированный ряд можно разбить две равные по числу значений части: {1,1, 2 } и { 3,3,3}. Очевидно, что медиана находится строго на середине внутренних границ этих частей, выделенных жирным шрифтом: 2 и 3. Т.е. медиана равна их полусумме: x med= (2+3)/2=2,5.
4) Дисперсию оценим по формуле: имеем
D г= [(1-2,2167)2+(1-2,2167) 2+(2-2,2167) 2+(3-2,2167) 2+(3-2,2167) 2+(3-2,2167) 2]/6=
= [(-1,2167)2+(-1,2167) 2+0,2167 2+0,7833 2+0,7833 2+0,7833 2]/6=
=(2×1,48035889+0,04695889+3×0,61355889)/6=
=(2,96071778+0,04695889+1,84067667)/6=4,84835334/6»0,80805889
5) Ответы: 1) »2,2167, 2) x mod=3, 3) x med=2,5,4) D г»0,808.
Наша случайная величина задана законом распределения
Варианта хi | Сумма | |||
Абсолютная частота ni | n =6 | |||
Относительная частота pi | 0,333 | 0,167 | 0,500 |
Относительные частоты pi находим по формулам pi = ni / n.
Имеем p 1= n 1 / n= 2/6=0,333, p 2= n 2 / n= 1/6=0,167,, p 3= n 3 / n= 3/6=0,500.
Полигоном и гистограмма распределения признака Х построены на рис. ниже.
Задание 25. Случайная величина X задана плотностью вероятности
Оценить: 1) математическое ожидание, 2) моду, 3) медиану и 4) дисперсию распределения. Построить закон распределения, полигон и гистограмму распределения признака Х.
Решение. Согласно определениям математического ожидания непрерывной случайной величины и дисперсии непрерывной случайной величины имеем
М(Х)= =
D(Х)= = = =
и, наконец, s(Х) =
Остальные вопросы задания решаются самостоятельно.