Способы сглаживания

Аналитический метод сглаживания основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей неслучайную составляющую (на основе визуального анализа графика временного ряда, знания процесса, логических соображений). Тогда на следующем этапе проводится статистическая оценка коэффициентов модели, по сути дела регрессионный анализ, где одним из многих или единственным фактором является временной параметр (текущая переменная).

Алгоритмическоесглаживание в отличие от аналитического не ставит задачу установления общего вида функции. Алгоритмическое сглаживание представляет собой некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические (случайные) компоненты взаимно погашают друг друга.

Обычно алгоритмический этап предшествует аналитическому этапу, т.к. он позволяет точнее установить общую тенденцию развития ряда и обоснованно выбирать вид модели для аналитического этапа.

Основные приемы алгоритмического сглаживания:

1. «Укрупнение интервалов» -наиболее простой прием. Например, ряд данных о ежедневной производительности можно преобразовать в ряд динамики помесячной производительности. Тем самым истинно «случайные» колебания производительности и колебания производительности, объёктивно существующие на протяжении рабочей недели, усредняются и лучше просматривается динамика изменения производительности по месяцам, годам. Уровни эго ряда могут быть получены суммированием уровней исходного ряда, используя свойство аддитивности интервальных временных рядов, см. выше § 8.1, либо могут представлять средние значения моментных временных рядов, усреднённых на большем интервале «текущей переменной».

2.«Собственно сглаживание» временного ряда - замена фактических уровней временного ряда расчетными значениями, в меньшей степени подверженными случайным колебаниям. При этом способы получения этих расчетных значений различают следующим образом.

А. «Метод скользящей средней»(называется также методом «простой скользящей средней», методом «подвижного среднего» или«окном Даниэля») заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем – средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Это число, данный ин­тервал уровней ряда (как правило, нечётное число) часто называют «окном». То есть сам выбран­ный интервал («окно») как бы скользит вдоль ряда. Чем больше размер «окна», тем более гладкий вид имеет график скользящих средних, но слишком большой размер «окна» может привести к упущению сглаживанию каких-то высокочастотных детерминированных колебаний.

Б.«Медианное сглаживание» - вместо средней можно использовать медиану значений, попавших в окно. Основное преимущество медианного сглаживанияв сравнении со сглаживанием скользящей средней состоит в том, что результаты становятся более устойчивыми к выбросам, имеющимся внутри окна. Основной недостаток медианного сглаживания в том, что при отсутст­вии явных выбросов он приводит к более «зубчатым» кривым, чем сглаживание скользящей средней, и не позволяет использо­вать «веса», см. ниже.

Когда тренд выравниваемого ряда имеет явно нелинейный характер и к тому же желательно сохра­нить мелкие волны, использование для сглаживания ряда рассмотренных выше ме­тодов нецелесообразно, так как может привести к значительным искажениям исследуемого процесса. В таких случаях более надежным является использование таких мето­дов, которые не просто усредняют уровни ряда в пределах «окна», а придают им при этом разные «веса» в зависимости от расположения в пределах «окна».

В. Мето­ды «взвешенной скользящей средней», в которых в отличие от мето­да простой скользящей средней, где все расположенные в окне наблюдения временного ряда при усреднении имеют равный «вес», эти веса (выраженные коэффициентами) различаются, увеличиваясь по мере увеличения координаты «текущей переменной». Это увеличение объяснимо, т.к. наиболее «свежие» результаты предположительно оказывают наибольшее влияние на текущее значение ряда. Эти мето­ды увеличения «веса» скользящей средней w_j, то есть свойства «окна» различаются. Перечислим наиболее известные способы или «окна»:

- «окно Тьюки»;

- «окно Хемминга»;

- «окно Парзена»;

- «окно Бартлетта».

Г. « Метод экспоненциаль­ного сглаживания» в современных условиях использования компьютерной техники находит наиболее частое применение. В отличие от всяческих методов скользящей средней (2А - 2В) в определении экспоненциальной средней участвуют все наблюдения исходного временного ряда, но с разными весовыми коэффициентами, а не только те, что попали в определенное окно. Для экспоненциального сглаживания, как и в случае взвешенной скользящей средней, момент времени, в который наблюдалось значение временного ряда (в общем случае - значение «текущей переменной»), играет решающую роль. Здесь более «старым» наблюдениям (значительнее удалённым от текущего момента) приписываются экспоненциально убывающие веса. Экспоненциальная средняя обладает большей временной устойчивостью по сравнению со скользящей средней. Формула метода простого экспоненциального сглаживания «рекуррентна», то есть каждый последующий член сглаженного ряда (S_t) можно выразить через предыдущий (S_t-1) член ряда. Новое теоретическое сглаженное значение (S_t) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения (C_t) и теоретического сглаженного зна­чения предыдущего периода (S_t-1):

(8.1)

где: S_t сглаженный ряд, C_t - исходный ряд, 0< α <1 - «коэффициент экспоненциального сглаживания», иначе «фактор затухания» (как правило, берётся α = 0,1- 0,3).