2015-03-22
2095
Вычисление производных заданных функций проводится обычно по хорошо известным правилам и формулам дифференцирования. При этом получается аналитическое выражение для производной функции. Подстановка в полученное выражение любого аргумента, принадлежащего области допустимых значений, позволяет вычислить искомое значение производной функции. Если же функции заданы таблично, алгоритмически или очень сложной формулой с использованием специальных функций, то, как правило, прибегают к численному дифференцированию. Целью численного дифференцирования является расчет значения производной 
функции 
в определенной точке x.
Дифференцируя полином (1) по переменной x, получим 
, при повторной процедуре - 
и т.д.
(3) первый интерполяционный полином Ньютона;
-(4) второй интерполяционный полином Ньютона;
Если требуется вычислить значение первой или второй производной в каком – либо узле таблицы, то достаточно положить t=0 и из формул (3) и (4) получим следующие полезные формулы:
-(5) и
-(6)
Погрешность всех формул определяется абсолютной величиной первого из отбрасываемых членов.
Пример 3. Некоторая функция f(x) задана таблицей.
| x | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | |
| y | 0,4992 | 0,9933 | 1,4776 | 1,9471 | 2,3971 | 2,8232 | 3,2211 |
Вычислите первую производную 
и вторую производную 
данной функции в точке x=0,24.
Решение. Ближайшим слева к числу 0,24 является узел 0,2. Его и выбираем за 
.
Составим таблицу разностей:
| x | y | 
| 
| 
| 
| 
|
 =0,2
|  =0,9933
| |||||
 =0,4843
| ||||||
 =0,3
|  =1,4776
|  =-0,0148
| ||||
 =0,4695
|  =-0,0047
| |||||
 =0,4
|  =1,9471
|  =-0,0195
|  =0,0003
| |||
 =0,4500
|  =-0,0044
|  =-0,0002
| ||||
 =0,5
|  =2,3971
|  =-0,0239
|  =0,0001
| |||
 =0,4261
|  =-0,0043
| |||||
 =0,6
|  =2,8232
|  =-0,0282
| ||||
 =0,3979
| ||||||
 =0,7
|  =3,2211
|
По первому интерполяционному полиному Ньютона (3), где 
имеем:
=
По первому интерполяционному полиному Ньютона (4):
=
Итак, 
, 
.
