2015-03-22
612
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
,где числа 
, 
, 
называются коэффициентами системы, числа 
- свободными членами.
Подлежат нахождению числа 
.
Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме 
Здесь А - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
, 
- вектор-столбец из неизвестных 
,
- вектор-столбец из свободных членов 
.
Произведение матриц А • X определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице X (n штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица 
системы, дополненная столбцом свободных членов
Решением системы называется n значений неизвестных 
, при подстановке которых в систему уравнений все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца 
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: 
Однородная система всегда совместна, так как 
является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.
