Операторный путь вывода уравнения Шрёдингера

На основании проделанных выше выкладок, можно предложить другой, операторный путь вывода уравнения Шрёдингера, основанный на свойствах операторов квантовой механики. Так, на основании соответствия между квантово-механическими операторами и динамическими переменными:

классическое выражение для гамильтониана, имеющее вид:

может быть представлено к виду:

учитывая, что:

где:

будем иметь:

Таким образом, после подстановки соответствующих выражений для операторов компонент импульса, получаем:

учитывая также, что:

имеем соответственно:

Однако само по себе данное выражение лишено смысла, поскольку операторы представляют собой определённые математические действия, преобразующие исходные функции (вектора) – оригиналы в их линейные отображения. По этой причине будет логично, если оператор полной энергии системы (оператор Гамильтона) будет действовать на некоторую функцию, содержащую в себе всю возможную информацию о свойствах системы частиц, определяющую таким образом всё, что только может быть известно о квантово-механической системе. Такую функцию в квантовой механике называют волновой функцией. Она полностью описывает состояние частицы (системы частиц) в любой момент времени. Учитывая выше сказанное, а также операторное уравнение вида:

будем иметь соответственно:

представляя его далее к виду:

получим: