Контрольные задания. Задание 1. Решить систему уравнений А) методом Жордана-Гаусса Б) методом модифицированных жордановых исключений

Задание 1. Решить систему уравнений а) методом Жордана-Гаусса; б) методом модифицированных жордановых исключений. Найти все базисные решения системы.

Задание 2. Решить систему уравнений а) по формулам Крамера; б) матричным способом.

Задание 3. Выяснить является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой, в случае линейной зависимости привести пример нетривиальной линейной комбинации, равной нулевому вектору (представить один из векторов в виде линейной комбинации остальных).

21. а₁ = (1; 2; 3; 4), а₂ = (4; 3; 2; 1), а₃ = (5; 5; 5; 5).

22. а₁ = (1; 1; 1; 1), а₂ = (1; 2; 3; 4), а₃ = (1; 3; 3; 1).

23. а₁ = (1; 3; 3; 6), а₂ = (2; 3; 0; 3), а₃ = (1; 2; 1; 3).

24. а₁ = (1; 1; 1; 1), а₂ = (1; -1; 1; -1), а₃ = (2; 3; 1; 4).

25. а₁ = (0; 2; 4; 6), а₂ = (-1; 0; 1; 1), а₃ = (2; 4; -1; 3).

26. а₁ = (4; 3; 2; 1), а₂ = (1; 2; 3; 4), а₃ = (5; 6; 5; 0).

27. а₁ = (1; 3; 2; -4), а₂ = (1; 2; 0; 4), а₃ = (2; 4; 0; 8).

28. а₁ = (4; 3; 2; 1), а₂ = (2; 3; 4; 5), а₃ = (6; 6; 6; 6).

29. а₁ = (1; 2; 0; 3), а₂ = (2; 1; 3; 4), а₃ = (1; 0; 3; -2).

30. а₁ = (0; 1; 1; 2), а₂ = (1; 2; 3; 1), а₃ = (1; 2; 3; -4).

Задание 4. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис в R ³ базис и разложить вектор а₄ по этому базису.

31. а₁ = (2; 1; 3), а₂ = (-4; -2; -1), а₃= (3; 4; 5), а₄ = (1; 3; 2).

32. а₁ = (2; 1; 4), а₂ = (-3; 5; 1), а₃= (1; -4; -3), а₄ = (2; -5; -4).

33. а₁ = (2; 3; 1), а₂ = (-1; 2; -2), а₃= (1; 2; 1), а₄ = (2; -2; 1).

34. а₁ = (1; 2; 1), а₂ = (2; -1; 3), а₃= (3; -1; 4), а₄ = (5; 1; 6).

35. а₁ = (2; 2; -1), а₂ = (0; 4; 8), а₃= (-1; -1; 3), а₄ = (1; 1; 2).

36. а₁ = (1; -2; 1), а₂ = (1; 1; 1), а₃= (-1; 1; 1), а₄ = (2; 3; 6).

37. а₁ = (3; -2; 2), а₂ = (-1; 1; -1), а₃= (0; 1; 4), а₄ = (5; 0; 15).

38. а₁ = (5; 1; 4), а₂ = (0; -1; 1), а₃= (4; 2; 2), а₄ = (1; 0; 1).

39. а₁ = (2; 3; 1), а₂ = (2; 2; 1), а₃= (-1; -3; -2), а₄ = (4; 7; 3).

40. а₁ = (2; -1; 4), а₂ = (1; -2; 2), а₃= (-1; 2; 1), а₄ = (-4; 14; 7).

Задание 5. Дана матрица А линейного оператора в . 1). Построить матричный оператор, заданный матрицей А. 2). Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы). 3). Привести квадратичную форму, заданную матрицей А в , к каноническому виду, а также найти ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид. 4). Построить линии уровня квадратичной формы.

41. А= .	46. А= .
42. А= .	47. А= .
43. А= .	48. А= .
44. А= .	49. А= .
45. А= .	50. А= .

Задание 6. Дан треугольник с вершинами A(x ₁, y ₁), B(x ₂, y ₂), C(x ₃, y ₃). Найти:

(а) уравнение стороны АС;

(б) уравнение высоты АК;

(в) длину средней линии MP/BC;

(г) угол ^ ;

(д) точку пересечения высот треугольника.

51. А (-4,0), B (-2,6), C (2,2).

52. A (-3,0), B (-1,6), C (3,2).

53. A (-2,0), B (0,6), C (4,2).

54. A (-1,0), B (1,6), C (5,2).

55. A (0,0), B (2,6), C (6,2).

56. A (1,0), B (3,6), C (7,2).

57. A (2,0), B (4,6), C (8,2).

58. A (3,0), B (5,6), C (9,2).

59. A (4,0), B (6,6), C (10,2).

60. A (-5,0), B (-1,6), C (1,2).

Задание 7. Найти:

а) уравнение прямой , проходящей через точки А(x ₁, y ₁, z ₁); B(x ₂, y ₂, z ₂).

б) уравнение плоскости , проходящей через точки 0(0, 0, 0), С(0, y ₃, 1) параллельно прямой .

в) пересечение прямой с плоскостью H: с x +a y + z +1=0.

61. A(1,2,3), B(3,4,4), C(0,-3,1), H: 3 x + y +2 z +1=0.

62. A(1,1,2), B(3,2,3), C(0,-4,1), H: 2 x + y + z +1=0.

63. A(1,1,1), B(3,3,2), C(0,-4,1), H: x + y + z +1=0.

64. A(1,1,3), B(3,2,4), C(0,-4,1), H: 3 x + y + z +1=0.

65. A(2,1,1), B(5,2,2), C(0,-4,1), H: x +2 y + z +1=0.

66. A(2,2,1), B(5,4,2), C(0,-3,1), H: x +2 y +2 z +1=0.

67. A(3,2,1), B(7,4,2), C(0,-3,1), H: x +3 y +2 z +1=0.

68. A(3,2,2), B(7,4,2), C(0,-3,1), H: 2 x +3 y +2 z +1=0.

69. A(4,1,1), B(9,2,2), C(0,-4,1), H: x +4 y + z +1=0.

70. A(4,2,1), B(9,4,2), C(0,-3,1), H: x +4 y +2 z +1=0.

Задание 8. Решить графическим методом задачу линейной оптимизации

81. 82.

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89. 90.

Задание 9. Решить симплексным методом задачу линейной оптимизации:

.

Задание 10. Решить транспортную задачу (в верхней строке таблицы указаны потребности b_j в грузе пунктов назначения, в левом столбце – запасы a_i груза в пунктах отправления, в остальных клетках – тарифы c_ij):

ai/bj

101. 102.

ai/bj

103. 104.

ai/bj

ai/bj

105. 106.

ai/bj

ai/bj

ai/bj

ai/bj

107. 108.

109. 110.

ai/bj

ai/bj

Методические указания по курсу линейной алгебры

В методических указаниях даны примеры решения задач, поясняющих применение основных теоретических результатов и некоторых приложений линейной алгебры. Задачи охватывают основные вопросы линейной алгебры: системы линейных уравнений, матрицы, линейное пространство, линейные операторы и квадратичные формы, линейное программирование. По ходу решения приведены некоторые теоретические понятия, знание которых необходимо для решения задач.