Аналитическая геометрия дает нам наглядное представление различных понятий и теорем линейной алгебры.
Определение. Гиперплоскостью в называется множество решений линейного уравнения
, (1)
где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (1) называют общим уравнением гиперплоскости.
Замечание. Гиперплоскость в : – прямая, гиперплоскость в : – обычная плоскость.
Выясним геометрический смысл коэффициентов . Фиксируем на гиперплоскости Р точку . Ее координаты обращают (1) в тождество
. (2)
Вычтем (2) из (1), получим
(3)
или
. (3/)
Из (3/) следует, что вектор ортогонален любому вектору , где , т.е. ортогонален гиперплоскости.
Вектор называется вектором нормали гиперплоскости . Уравнение (3) называют уравнением гиперплоскости, проходящей через данную точку.
Определение. Углом между двумя гиперплоскостями с векторами нормали называется угол, определенный формулой
. (4)
Гиперплоскости называются параллельными, если и только если и ортогональными, если и только если .
|
|
Следовательно, если , , то
– условие параллельности гиперплоскостей
(в случае ненулевых );
– условие ортогональности.
Задача 8. Найти уравнение гиперплоскости:
1) проходящей через точку параллельно гиперплоскости ;
2) проходящей через точки , ортогонально гиперплоскости .
Решение. 1) Воспользуемся уравнением гиперплоскости, проходящей через данную точку в :
.
Координаты точки нам даны, а из условия параллельности следует, что в качестве вектора нормали можно взять вектор вида , где . Подставляя в уравнение, получим:
,
.
Ответ: .
2) Пусть – вектор нормали искомой плоскости. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид:
.
Так как точка принадлежит этой плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости:
.
Воспользуемся также условием перпендикулярности искомой и данной плоскостей с вектором нормали :
.
Мы получим для определения систему двух уравнений:
Решим ее методом Жордана-Гаусса:
~ ~
где .
Подставим в первое уравнение:
Ответ: .
Определение. Прямой в называется множество точек вида
, (5)
где – фиксированная точка, – фиксированный ненулевой вектор.
Вектор называется направляющим вектором прямой
:
· или ·
Уравнение , которому при удовлетворяют все точки прямой , называется параметрическим (векторным) уравнением прямой . Если мы распишем его в координатном виде, то получим систему:
, (6)
которую называют параметрическими уравнениями прямой.
Замечание. Параметрическое уравнение однозначно определяет прямую, но не наоборот, т.к. если мы возьмем любой ненулевой вектор () и другую точку , то уравнение будет также задавать прямую .
|
|
Если все , то разрешив (6) относительно , мы получим цепочку из равенств:
, (7)
она называется каноническим уравнением прямой.
Замечание. Каноническое уравнение – это сокращенная запись системы уравнений, а не одно уравнение.
Замечание. Если некоторые из чисел равны нулю, то соответствующие параметрические уравнения принимают вид: , ему удовлетворяют любые , поэтому цепочка (7) укорачивается и к ней добавляются равенства . Например, при :
Теорема (общие уравнения прямой). Множество решений системы линейных уравнений с неизвестными:
(8)
является прямой в , если и только если ранг матрицы системы равен (т.е. максимален).
Определение. Если прямая – множество решений системы (8), то эту систему называют общими уравнениями прямой.
Геометрическое истолкование: прямая в является пересечением гиперплоскостей. Следовательно, прямая в – это пересечение двух плоскостей, если они не параллельны или не совпадают.
Задача 9. Выяснить, определяет ли системы уравнений прямую в и, если определяет, то найти параметрические уравнения прямой:
а) б)
Решение. а) Найдем , где
~ .
Т.к. , то система не определяет прямую.
б) ~ ,
т.е. система определяет прямую. Найдем общее решение системы по методу Жордана-Гаусса:
~ ~
где .
Параметрическое уравнение прямой: , .
Если все координаты точек различны, то цепочка равенств
. (9)
называется уравнением прямой, проходящей через две точки.
Если какая-то пара соответствующих координат точек и равна, то цепочка уравнений укорачивается (см. замечание к уравнению (7).